Solución De Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Con Condiciones Iniciales

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON CONDICIONES INICIALES
Introducción.
En cálculo aprendimos que la derivada dy/dx de una función y=f(x) es otra función f’(x) de x que se determina aplicando una regla adecuada. Por ejemplo, la función y=e0.1x2 es diferenciable en el intervalo (-∞,∞), y su derivada es dydx=0.2xe0.1x2.
Si sustituimos e0.1x2en el lado derecho de la derivada porel símbolo y, obtendremos: dydx=0.2xy
Esta ecuación planteada se le conoce como ecuación diferencial.
Por lo tanto, una ecuación diferencial es aquélla que contiene las derivadas dependientes con respecto a una o más variables independientes.
Clasificación.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.
Clasificación según el tipo. Si una ecuación sólocontiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo:
dydx+5y=ex d2ydx2-dydx+6y=0 dxdt+dydt=2x+y
Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o más variables independientes, se llama ecuación diferencialen derivadas parciales. Por ejemplo:
∂2u∂x2+∂2u∂y2=0 ∂2u∂x2=∂2u∂t2-2∂u∂t ∂u∂y=-∂ϑ∂x
Clasificación según el orden. El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo:
Primer orden
Segundo orden

d2ydx2+5dydx3-4y=ex
Clasificación según la linealidad. Se dice que una ecuación diferencial como F(x, y, y’,…, y(n))=0 es lineal si F es lineal en y, y’,…,y(n-1). Esto quiere decir que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando la ecuación anterior es an(x)y(n)+an-1(x)y(n-1)+…+a1(x)y’+a0(x)y-g(x)=0
Las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales son las siguientes:
1. La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, elexponente de todo término donde aparece y es 1.
2. Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable dependiente.
Las ecuaciones (y-x) dx+4x dy = 0 , y’’-2y’+y = 0, d3ydx3+xdydx-5y=ex son, a su vez, ecuaciones diferenciales ordinarias de primero, segundo y tercer orden. Una ecuación ordinaria no lineal, simplemente es aquélla que no es lineal. Las funciones no lineales de la variabledependiente o de sus derivadas, como por ejemplo sen y o ey', no pueden aparecer en una ecuación lineal.
A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a la incógnita y = y(x) o a sus derivadas. En algún intervalo I que contenga a x0. Por ejemplo:
Resolver: dydx=f(x,y) d2ydx2=f(x,y,y')
Sujeta a: yx0=y0 y concondiciones iniciales de primero y segundo orden, respectivamente. Son fáciles de interpretar en términos geométricos. Para estas ecuaciones estamos buscando una solución de la ecuación diferencial, en un intervalo I que contenga a x0, tal que una curva solución pase por el punto prescrito (x0,y0).
Aplicaciones.
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería parael modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de variosprocesos naturales de los seres vivos desde los microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación. Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población.
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