Sucecciones y series
SUCESIÓN.-
Una sucesión es una lista infinita de términos que siguen una regla.
Presentación: Sucesión [pic]
[pic]: Términos de la sucesión.
[pic]: Término general de la sucesión.
[pic]: Término anterior a [pic].
[pic]: Término siguiente a [pic] siendo [pic].
Ejemplo de sucesión:
¿Cuál regla se aplica en la siguiente sucesión?: [pic]
Respuesta: Laregla que se aplica es que a cada número entero positivo se le asigna su inverso.
Definición:
Una sucesión [pic] es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos, a los que denotaremos [pic], y su rango es el conjunto R de los números reales. Los valores funcionales [pic] son llamados términos de la misma y [pic]es el término general.
Si por utilidad lasucesión se define así: [pic]; es decir que se escribe desde [pic], entonces la definición es la siguiente:
Definición:
Una sucesión [pic]es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros no negativos, a los que denotaremos [pic], y su rango es el conjunto R de los números reales. Los valores funcionales [pic] son llamados términos de la misma y [pic]es el término general.SERIES.-
La suma de los términos de una sucesión es una serie. Si la sucesión es [pic], la serie correspondiente se denota [pic].
Si la sucesión es finita, la serie correspondiente es finita. Si la sucesión es infinita, la serie también lo será.
Ejemplo:
Sucesión: [pic] (finita)[pic]Serie: [pic] (finita).
Las series se presentan abreviadas mediante sumatorias:
Sumatorias.-[pic]
Ejemplos:
[pic]
Propiedades de las sumatorias:
|[pic] |[pic] |
| |(Propiedad telescópica) |
|En consecuencia: ||
| | |
|[pic] |[pic] |
Sumatorias notables:
|[pic]|
|[pic] |
Cambio de variable en las sumatorias.-
Sea [pic] con [pic], una sucesión de números enteros positivos tal que:
[pic]
Sea [pic], una función que define una correspondencia biunívoca tal que:
[pic]
Se define la correspondencia entre [pic] y [pic] de modo que:[pic]
SUCESIONES Y SERIES ARITMÉTICAS.-
SUCESIÓN ARITMÉTICA (SA).-
Una sucesión: [pic] se llama sucesión o progresión aritmética si existe una constante d, llamada diferencia común, tal que [pic] ó [pic] para cualquier [pic].
Si [pic]la sucesión es creciente; si [pic]es decreciente.
Ejemplo: [pic] (SA creciente).
Aprovechemos este ejemplo para hacer algunas deducciones.Observen que:
[pic]
Es decir que si queremos obtener [pic], procedemos de la siguiente manera: [pic]ya que de la estructura de los términos anteriores se tiene que: [pic]
TÉRMINO ENÉSIMO (n-simo) Y TÉRMINO CUALQUIERA DE UNA SUCESIÓN ARITMÉTICA.-
Por lo tratado en el aparte anterior, es posible establecer un algoritmo que permita determinar cuál es el término general, [pic], de una SA:[pic]
Expresión que podemos extender para un término cualquiera de una SA de la siguiente manera:
Sean [pic] y [pic] términos de una SA tal que [pic] ; entonces se puede obtener [pic] a partir de [pic], siempre que se conozca a d, mediante la siguiente expresión:
[pic]
SERIES ARITMÉTICAS FINITAS.-
Si [pic]es una sucesión o progresión aritmética, entonces...
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