Sucesiones de Fibonacci

Sucesiones de
Fibonacci
Andrea Marcela Hernández Bautista
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¿Qué son las sucesiones de
Fibonacci?
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces llamada erróneamente serie
de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597…
La sucesión comienza con los números 1 y 1, y a partir de estos, «cada término
es la suma de losdos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.
A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta
sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del
siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones
en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece
en configuraciones biológicas, comopor ejemplo en las ramas de los árboles,
en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles,
en las inflorescencias del brécol romanesco y en la configuración de las piñas de
las coníferas.

Grafica de la sucesión de
Fibonacci hasta f{10}

La espiral de Fibonacci: una
aproximación de la espiral
aúrea generada dibujando
arcos circulares conectando
las esquinasopuestas de los
cuadrados ajustados a los
valores de la sucesión;
adosando sucesivamente
cuadrados de lado 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, y 34.

Historia
Mucho antes de ser conocida en occidente, la sucesión de Fibonacci ya
estaba descrita en las matemáticas de la India, en conexión con
la prosodia sánscrita.
Susantha Goonatilake hace notar que el desarrollo de la secuencia de
Fibonacci "es atribuido enparte a Píngala (año 200), posteriormente
asociado con Virahanka (hacia el año 700 ), Gopāla (hacia 1135),
y Hemachandra (hacia 1150)". Parmanand Singh cita a Pingala (hacia
450) como precursor en el descubrimiento de la secuencia.
La sucesión fue descrita y dada a conocer en occidente
por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos:
«Cierto hombre tenía una pareja de conejos enun lugar cerrado y
deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la
pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una
pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a
reproducir».

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas
totales que hay hasta ese mes.
De esta manera Fibonacci presentó lasucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas
propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla
denominado como se la conoce en la actualidad.8
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió
en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos f_{n+1}/f_n se acerca a larelación
áurea fi (\phi) cuando n tiende a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión
recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta sucesión tuvo popularidad en el siglo XX
especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók,
Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la utilizaron para la creación de acordes yde nuevas
estructuras de frases musicales.

Definición recursiva
Los números de Fibonacci quedan definidos por la ecuación:
partiendo de dos primeros valores predeterminados:
se obtienen los siguientes números:

para n = 2,3,4,5,…
Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en
Matemática discreta.
Es importante definir
propiedad de que:

para que se pueda cumplir laimportante

Propiedades de la sucesión
Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes
áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar
el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y
en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación
especializada llamada Fibonacci Quarterly10 dedicada...