Sucesiones

8.
8.1.

Sucesiones y recurrencia
Sucesiones

Una sucesi´n es una disposici´n de n´ meros reales a1 , a2 . . . an . . . en la o o u forma (a1 , a2 , a3 , a4 , . . .) por ejemplo (1, 3, 5, 7, 9 . . .) es la sucesi´n de n´ meros impares mayores que cero. Las sucesiones (1/3, 1/2, 1/4, 1/5, o u 1/6, . . .) y (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, . . .) son distintas, porque los n´ meros que u las componen(los t´rminos de la sucesi´n) est´n en distinto orden. Sin eme o a bargo la ultima sucesi´n es igual a (1 5, 0 333 , 0 25, 0 2, 0 1 666 , . . .). ´ o Como influye el orden en que se dan los t´rminos de la sucesi´n, las e o sucesiones (1, −1, 1, −1, 1, . . .) y (−1, 1, −1, 1, −1, . . .) son distintas. Una sucesi´n (a1 , a2 , a3 , . . .) gen´rica se suele denotar {an }n∈N , aunque o e ser´ m´scorrecto escribirla entre par´ntesis para resaltar el hecho de que el ıa a e orden es importante: (an )n∈N El t´rmino general de una sucesi´n es el t´rmino gen´rico an . La expresi´n e o e e o del t´rmino general es una f´rmula que me da an en funci´n de n. Lo m´s e o o a frecuente es que la expresi´n del t´rmino general sea un polinomio, pero o e tambi´n se puede dar un t´rmino general por unarelaci´n de recurrencia o e e o una definici´n abstracta. Por ejemplo la sucesi´n de los n´ meros impares es o o u (1, 3, 5, 7, . . .) pero puede verse que el t´rmino general es an = 2 · n − 1. Otra e 1

definici´n abstracta es ”an = cantidad de n´ meros expresables con n bits”. o u Puede verse (an ) = (2, 4, 8, 16, · · ·) y que el t´rmino general es an = 2n . e

8.2.

sucesiones aritm´ticas ygeom´tricas e e

Sucesi´n aritm´tica es aquella en la que cada n´ mero resulta del ano e u terior al sumarle una cantidad fija (llamada diferencia o raz´n aditiva o o raz´n). Por ejemplo 2, 4, 6, 8, 10, . . . o 3, 5, 7, 9, . . . tienen raz´n r = 2, y o o 7, 3, −1, −5, −9 . . . tiene raz´n r = −4. En una sucesi´n aritm´tica es f´cil o o e a deducir el t´rmino siguiente a uno dado, sabiendo la raz´n.Tambi´n es e o e e sencillo el t´rmino general: partiendo de a0 , se tiene a1 = a0 + r, y luego a2 = a1 + r = a0 + 2 · r, a3 = a2 + r = a0 + 3 · r, etc´tera. Resulta: e an = a 0 + r · n Sucesi´n geom´trica es aquella en la que cada n´ mero resulta del ano e u terior al multiplicarlo por una cantidad fija (llamada raz´n). Por ejemplo o (2, 4, 8, 16, . . .) o (3, 6, 12, 24, 48, . . .) tienen raz´n r = 2,y (3, 9, 27, 81 . . .) y o (1, 0 5, 0, 25, 0 125, 0 0625, . . .) tienen respectivamente raz´n r = 3 y r = 1/2. o En una sucesi´n geom´trica es f´cil deducir el t´rmino siguiente a uno dado, o e a e sabiendo la raz´n. Tambi´n es sencillo el t´rmino general: partiendo de a0 , o e e se tiene a1 = a0 · r, y luego a2 = a1 · r = a0 · r 2 , a3 = a2 · r = a0 · r 3 , etc´tera. e Resulta: an = a 0 · r nEjercicio:¿Hay alguna sucesi´n que sea a la vez aritm´tica y geom´trica? o e e 2

Tradicionalmente estos dos tipos de sucesi´n eran los m´s estudiados, y o a se daban f´rmulas que calculaban la suma de los primeros t´rminos de tales o e sucesiones. En el lenguaje com´ n tambi´n se usan las expresiones ”creciu e miento aritm´tico” y ”crecimiento geometrico” (o ”exponencial”, porque en e el t´rminogeneral de una sucesi´n geom´trica interviene n como exponente). e o e En este tema estudieramos las sucesiones desde un punto de vista m´s genea ral, y estos tipos cl´sicos ser´n casos concretos. a a

8.3.

Recurrencia

Una sucesi´n a1 , a2 , a3 , . . . se dice recurrente, o que verifica una relaci´n o o de recurrencia, si cada t´rmino es funci´n de los anteriores: e o an = f (an−1 , an−2 ,an−3 , · · ·) Normalmente no se consideran funciones tan generales, sino dependiendo s´lo de los dos o tres t´rminos anteriores: an = f (an−1 , an−2 ). Adem´s es o e a frecuente restringirse al caso en que f es una funci´n lineal, es decir an = o α · an−1 + β · an−2 con α, β ∈ R Por ejemplo la sucesi´n de Fibonacci: o 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 . . . en la que cada t´rmino es la suma de...