sucesiones

Capítulo 1

Problemas de Sucesiones
Problema 1.1 Calcular los siguientes límites:
3
n
(iii) l´
ım
n→∞ ln( n )
n−1

e n + 2n
(ii) l´
ım
n→∞
5n

ln(n) sen(n)
(i) l´
ım
n→∞
n

√
(iv) l´
ım

1+

√

n→∞

2 + ··· +
√
n n

√

n

•

Solución:
ln(n) sen(n)
=
n→∞
n

(i) l´
ım

escala de innitos
sen(n) acotada

e n + 2n
e
= l´
ım
n→∞
n→∞ 5
5n(ii) l´
ım

3
n
n→∞ ln( n )
n−1

(iii) l´
ım
l´
ım

n→∞

= l´
ım

n→∞

n

+
3
n

ln(1 +

2
5

n

1
n−1 )

= 0 × acotada = 0.

= [( número menor que uno )∞ ] = 0 + 0 = 0.
3
n
n→∞ 1
n−1

= [ innitésimo del logaritmo ] = l´
ım

=

3(n − 1)
= 3.
n
√

(iv) l´
ım

n→∞

1+

√

2 + ··· +
√
n n

√

n

= ···

√
√
√
Para calculareste límite aplicamos el criterio de Stolz, con an = 1 + 2 + · · · + n y
√
bn = n n, ya que bn es creciente y tiene límite innito.
√
an+1 − an
n+1
√
= l´
ım
l´
ım
√ = [× y ÷ por el conjugado] =
n→∞ (n + 1) n + 1 − n n
n→∞ bn+1 − bn

5

6

Problemas

√
√
√
n + 1 (n + 1) n + 1 + n n
√
√
l´
ım
√
√ =
n→∞ (n + 1) n + 1 − n n
(n + 1) n + 1 + n n
√
(n + 1)2 + n n(n + 1)2
n2 + 2n + 1 + n n2 + n
l´
ım
= l´
ım
= .
n→∞
n→∞
((n + 1)3 − n3 )
3n2 + 3n + 1
3

Problema 1.2 Calcular los siguientes límites:
(i) l´
ım

n→∞

n − sen(n)
n

(ii) l´ n sen
ım
n→∞

ln(n2 + n)
n→∞
n

1
n

(iii) l´ n tan
ım
n→∞

1
n

(v) l´ n 1 − cos
ım

(iv) l´
ım

1
+1
n

n→∞

•

Solución:
(i) l´
ım

n→∞

n − sen(n)
1
= l´
ım 1 −sen(n)
n→∞
n
n

(ii) l´ n sen
ım
n→∞

(iii) l´ n tan
ım
n→∞

1
n

1
n

sen
= l´
ım

n→∞

1
+1
n

1
n

=∞×

= [sen(n) acotada] = 1 + 0 × acotada = 1.

= [ innitésimos equivalentes ] = 1.

π
= ∞.
4

ln(n2 + n)
= [escala de innitos] = 0.
n→∞
n

(iv) l´
ım

(v) l´ n 1 − cos
ım
n→∞

1
n

= [innitésimos equivalentes] = l´ n
ım
n→∞

1
= 0.2n2

Problema 1.3 Calcular los siguientes límites:
cos(n) ln(n2 − n + 1)
n→∞
n

(i) l´
ım

1

(ii) l´ 2n e n − 1
ım
n→∞

(iii) l´
ım

n→∞

1
sen
n

•

Solución:
cos(n) ln(n2 − n + 1)
=
n→∞
n

(i) l´
ım

escala de innitos
cos(n) acotada

= 0 × acotada = 0.

1
n

n

+1

Sucesiones

7

1

1
n

(ii) l´ 2n e − 1 = l´ 2
ım
ım
n→∞

en − 1

1sen
n

(iii) l´
ım

n→∞

1
n

n

+1

= [ innitésimos equivalentes] = 2.

1
n

n→∞

1
l´
ım sen( n )

= en→∞

= e0 = 1 .

Para el cálculo de este límite hemos utilizado el criterio del número e.

Problema 1.4 Calcular los siguientes límites:
en − 2n
n→∞
n
sen(n) − tan
(iii) l´
ım
n→∞
n
(i) l´
ım

(ii) l´
ım 1 + sen
n→∞

1
n

1
n

n

13 + 23+ · · · + n3
n→∞
n4

(iv) l´
ım
•

Solución:
en − 2n
en
= l´
ım
n→∞
n→∞ n
n

(i) l´
ım

(ii) l´
ım

1 + sen

n→∞

=e

l´
ım

1
n

n

2
e

1−

= [ escala de innitos] = ∞ × 1 = ∞.

n

1
l´
ım n sen( n )

= [1∞ ] = en→∞

1
(n)

sen

n→∞

1
n

= [innitésimos equivalentes] = e.

sen(n) − tan
n→∞
n

(iii) l´
ım

1
n

= l´
ımn→∞

sen(n)

1
tan n
1
−
n
n

= [0 × acotada] −

0
= 0.
∞

13 + 23 + · · · + n3
= ···
n→∞
n4

(iv) l´
ım

Para calcular este límite aplicamos el criterio de Stolz, con an = 13 + 23 + · · · + n3 y bn = n4 ,
ya que bn es creciente y tiene límite innito.
(n + 1)3
(n + 1)3
1
an+1 − an
= l´
ım
= l´
ım
= .
n→∞ (n + 1)4 − n4
n→∞ 4n3 + 6n2 + 4n + 1
n→∞ bn+1 − bn
4l´
ım

Problema 1.5 Calcular los siguientes límites:
cos(n) − sen(n)
√
n→∞
n

(i) l´
ım

(ii) l´
ım

n→∞

1

en −
•

1
2

n

(iii) l´ n2 ln 1 +
ım
n→∞

1
1
sen
n
n

8

Problemas

Solución:
(i) l´
ım

n→∞

cos(n) − sen(n)
√
= l´
ım
n→∞
n
1

en −

(ii) l´
ım

n→∞

n

1
2

=

(iii) l´ n2 ln(1 +
ım
n→∞

1−

cos(n) sen(n)...