Suelos

Introducci´ n al C´ lculo Variacional
o
a
Gonzalo Galiano, 2003

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Indice general
Introducci´ n
o
Tres problemas cl´ sicos
a
El problema de la braquistocrona
El problema de las geod´ sicas
e
El problema isoperim´ trico
e
M´ todos de resoluci´ n de los problemas variacionales
e
o
M´ todos indirectos
e
M´ todos directos
e
Cap´tulo 1. Analog´as entre el C´ lculo Diferencialy el C´ lculo Variacional
ı
ı
a
a
1. Optimizaci´ n en dimensi´ n finita
o
o
2. Paso a dimensi´ n infinita
o

V
V
V
VII
VII
VII
VIII
VIII

1
1
1

Cap´tulo 2. La ecuaci´ n de Euler y las condiciones de Legendre
ı
o
1. Problemas variacionales con fronteras fijas en una variable
2. Generalizaciones del problema con fronteras fijas
2.1. El caso de varias variables
2.2. El casode varias inc´ gnitas
o
2.3. Funcionales que dependen de las derivadas de orden superior
2.4. Problemas variacionales con restricciones
3. Variaci´ n general de un funcional
o
3.1. Deducci´ n de la f´ rmula b´ sica
o
o
a

7
7
13
13
15
17
17
23
23

Cap´tulo 3. Las condiciones de Jacobi
ı
1. Introducci´ n
o
2. Condici´ n necesaria de Jacobi
o
3. Condici´ n de Jacobi.Condiciones suficientes para un m´nimo
o
ı
4. Relaci´ n entre la condici´ n de Jacobi y la teor´a de formas cuadr´ ticas
o
o
ı
a

27
27
28
33
35

Cap´tulo 4. Introducci´ n a los m´ todos directos. El m´ todo de Ritz
ı
o
e
e
1. Sucesiones minimizantes
2. El m´ todo de Ritz
e

39
39
41

III

IV

Bibliograf´a
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´
INDICE GENERAL

43

Introducci´ n
o
Tresproblemas cl´ sicos
a
A continuaci´ n introducimos tres ejemplos cl´ sicos del C´ lculo de Variaciones, en los que se
o
a
a
´
muestran los elementos fundamentales del problema tipo de optimizaci´ n. Son estos:
o
1. Un espacio de funciones, V , tal que u : Ω → Rq , donde Ω es una abierto, normalmente
acotado, de Rn , de frontera, Γ, regular.
2. Restricciones sobre el conjunto de soluciones, quepueden imponerse bien sobre la frontera Γ, bien sobre el dominio Ω. Por ejemplo u = 0 en Γ, u ≥ ψ en Ω, etc. El conjunto
de funciones que satisfacen estas restricciones es, en general, un subconjunto, U de V .
3. Un funcional J : V → R de la forma siguiente:
(1)

J (u) :=

L(x, u(x), u (x))dx.
Ω

Naturalmente, las hip´ tesis sobre V y L deben asegurar la existencia de J sobre V , o alo
menos sobre U .
El problema de optimizaci´ n consiste en hallar el m´nimo, u ∈ U , del funcional J .
o
ı
El problema de la braquistocrona. El problema de la braquistocrona, o curva de descenso
m´ s r´ pido, es uno de los problemas m´ s antiguos del c´ lculo de variaciones. La primera soluaa
a
a
ci´ n fue dada por Johann Bernoulli en 1696, aunque tambi´ n dieron soluciones algunoscontemo
e
por´ neos suyos como Jacob Bernoulli, Leibniz y Newton.
a
Entre todas las curvas que unen los puntos A y B , se desea hallar aquella a lo largo de la cual
un punto material, movi´ ndose bajo la fuerza de la gravedad desde A llega al punto B en el menor
e
tiempo.
Para resolver este problema debemos considerar todas las posibles curvas que unen A y B . A
una determinada curva, γ , lecorresponder´ un valor determinado, T , del tiempo invertido para el
a
descenso del punto material a lo largo de ella. El tiempo, T , depender´ de la elecci´ n de γ . De
a
o
todas las curvas que unen A con B debemos hallar aquella a la que corresponda el menor valor de
T . El problema puede plantearse de la siguiente forma.
Tracemos un plano vertical que pase por los puntos A y B . La curvade m´ s r´ pido descenso
aa
´
debe evidentemente estar en el, as´ que podemos restringirnos a curvas sobre dicho plano. Toı
memos el punto A como el origen de coordenadas, el eje OX apuntando en la direcci´ n de la
o
V

´
INTRODUCCION

VI

gravedad y sea B = (x1 , y1 ), con x1 > 0 y y1 ≥ 0. Consideremos una curva arbitraria descrita
por la ecuaci´ n
o
(2)

y = y (x) 0 ≤ x ≤ x1...