Superficies cuadricas

Superficies cuadráticas

Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.
 
  |  Definición (superficies cuadráticas) |

| La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.   |

 
Observación: en la ecuaciónde segundo grado deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos , y , pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso
Elipsoide
La gráfica dela ecuación:

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en ), y .La traza del elipsoide sobre cadauno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.

Figura 1. Elipsoide
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Paraboloide elíptico
La gráfica de laecuación

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales son elipse :

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean o son parábola.

Figura 2. Paraboloide elíptico
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Paraboloide hiperbólico
La gráfica de la ecuación:

es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales son hipérbolas o dos rectas  (). Sus trazas sobreplanos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene laforma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.

Figura 3. Paraboloide  hiperbólico
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Cono elíptico
La gráfica de la ecuación:

es un cono elíptico.Sustrazas sobre planos horizontales son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su gráfica se muestra en la figura 4.
 

Figura 4. Cono elíptico...