superficies cuadricas
Páginas: 3 (731 palabras)
Publicado: 2 de febrero de 2015
Superficies cuadráticas
Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.
Definición(superficies cuadráticas)
La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables
\begin{displaymath}A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z +
G = 0\end{displaymath}
se conocen comosuperficies cuadráticas, salvo casos degenerados.
Observación: en la ecuación de segundo grado $A\,x^2 +
B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z +
G = 0$ deliberadamente no hemos incluidolos términos mixtos $xy$, $xz$ y $yz$, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso
$\bullet \;$ Elipsoide
La gráfica de la ecuación:\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +
\frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}
corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tieneintersección con los ejes coordenados en $(\pm a, 0,
0$), $(0, \pm b,
0)$ y $ (0,
0, \pm c)$ .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. Lafigura 1 muestra su gráfica.
Figura 1. Elipsoide
[Ver en ambiente 3D-JviewD]
$\bullet \;$ Paraboloide elíptico
La gráfica de la ecuación
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}
es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales $z =
k$ son elipse :
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =\frac{k}{c}\end{displaymath}
Sus trazas sobre planos verticales, ya sean $x = k\;$ o $ ;y = k$ son parábola.
Figura 2. Paraboloide elíptico
[Ver en ambiente 3D-JviewD]
$\bullet \;$Paraboloide hiperbólico
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}
es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos...
Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.
Definición(superficies cuadráticas)
La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables
\begin{displaymath}A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z +
G = 0\end{displaymath}
se conocen comosuperficies cuadráticas, salvo casos degenerados.
Observación: en la ecuación de segundo grado $A\,x^2 +
B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z +
G = 0$ deliberadamente no hemos incluidolos términos mixtos $xy$, $xz$ y $yz$, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso
$\bullet \;$ Elipsoide
La gráfica de la ecuación:\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +
\frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}
corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tieneintersección con los ejes coordenados en $(\pm a, 0,
0$), $(0, \pm b,
0)$ y $ (0,
0, \pm c)$ .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. Lafigura 1 muestra su gráfica.
Figura 1. Elipsoide
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$\bullet \;$ Paraboloide elíptico
La gráfica de la ecuación
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}
es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales $z =
k$ son elipse :
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =\frac{k}{c}\end{displaymath}
Sus trazas sobre planos verticales, ya sean $x = k\;$ o $ ;y = k$ son parábola.
Figura 2. Paraboloide elíptico
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$\bullet \;$Paraboloide hiperbólico
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}
es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos...
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