Sxntiestebxn

Universidad Centroamericana
FACULTAD DE CIENCIA, TECNOLOGÍA y AMBIENTE

Métodos Numéricos II

Integrantes:
Adriana Massiel Bello Herrera
María Gabriela Guevara
Juan Carlos Estrada
Juan Carlos Suarez
Harvin Antonio Hernández Aguirre
Joan Alejandro Duarte Santiesteban

Carrera:
Ingeniería Civil
Docente:
Pedro Navarrete
Grupo:
0623

I. Errores y Aproximaciones
1.Aproximar fx=cos2(x) para x=1, utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 6.
C0=f(0)o!=cos2(0)1=1
C1=f'(0)1!=-2cos0sen(0)1=0
C2=f''(0)2!=2sen2(0)-2cos2(0)2=-1
C3=f'''(0)3!=4sen0cos0+4cos0sen(0)6=0
C4=flV(0)4!=4cos20-4sen20-4sen20+4cos2(0)24=13
C5=fV(0)5!=-16cos0sen0-16sen0cos(0)120=0
C6=fVI(0)6!=8sen20-8cos20-8cos2(0)+8sen20-8cos2(0)+8sen2(0)+8sen2(0)-8cos2(0)720=0

El polinomio deaproximación es: fx= 1 - x2 + 13x4- 245x6

Polinomio de Aproximación | Valor Real | Valor Aproximado | Error |
1 | 0.2919 | 1 | 0.7081 |
1 - x2 | 0.2919 | 0 | 0.2919 |
1 - x2 + 13x4 | 0.2919 | 0.3333 | 0.0414 |
1 - x2 + 13x4- 245x6 | 0.2919 | 0.2888 | 0.0031 |

2. Estimar el valor de la función fx=sen2(x) en el punto x=0.5 usando el polinomio de Maclaurin que de cómo resultado un errorabsoluto menor de 0.001.

f(x) = sen2 (x)
fI(x ) = 2sen(x) cos (x)
fIIx = 2cos2x-2sen2x
fIIIx = -8 sen(x)cos(x)
fIVx = -8cos2(x) + 8sen2(x)
fVx = 16 sen(x) cos(x) + 16 sen(x) cos(x)
fVIx = 32 cos2 (x) – 32 sen2(x)

C0= sen2(0)0!=0 |
C1= 2sen(0)*cos(0)1!=0 |
C2= 2cos20-2sen2(0)2!=1 |
C3= -4sen0*cos(0)-4sen0*cos(0)3!=0 |
C4= -8cos20+8sen2(0)4!=-13 |
C5= 16 sen(0) cos(0) + 16 sen(0)cos(0)5!=0 |
C6= 32cos20-32sen2(0)6!=245 |
fx= 0+0x+x2+0x3-13x4+0x5+245x6
Polinomio de Aproximación | Valor Real | Valor Aproximado | Error |
x2 | 0.2298 | 0.2888 | 0.0031 |
x2-13x4 | 0.2298 | 0.2291 | 0.0006 |

El polinomio de aproximación es: fx= x2-13x4

3. Utilice la serie de Maclaurin, f(x)= ∑ fk(0)k!xk para aproximar el valor de la función f(x)= ln (1+x) en x=0.5 con unerror absoluto menor de 0.001

fx=ln1+x x=0,5

fx=C0+C1x+C2x2+C3x3+C4x4+C5x5+C6x6+R6
K | fk(x) | fk(0) | K! | Ci | Polinomio | F.aprox | F.real | Rn(x) |
0 | ln⁡(1+x) | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0.4055 | 0.4055 |
1 | (1+x)-1 | 1 | 1 | 1 | x | 0.5 | 0.4055 | 0.0945 |
2 | -(1+x)-2 | -1 | 2 | -1/2 | x - x22 | 0.3750 | 0.4055 | 0.0305 |
3 | 2(1+x)-3 | 2 | 6 | 13 | x- x2 2 +x33 | 0.4167 | 0.4055 | 0.0112 |
4 | -6(1+x)-4 | -6 | 24 | -14 | x - x2 2 + x33 - x44 | 0.4010 | 0.4055 | 0.0045 |
5 | 24(1+x)-5 | 24 | 120 | 15 | x- x2 2 + x33 - x44 + x55 | 0.4073 | 0.4055 | 0.0018 |
6 | -120(1+x)-6 | -120 | 720 | -16 | x - x2 2 + x33 - x44 + x55 - x66 | 0.4047 | 0.4055 | 0.0008 |

El polinomio de aproximación es:
fx=x - x2 2 + x33 - x44 + x55 - x66

4.
5.Utilice la serie de Taylor, f(x)= ∑ fk(a)k!(x-a)k para aproximar el valor de la función f(x)= ln (1+x) en x=0.5 con un error absoluto menor de 10.000*10-4. Utilice a=1
fx=ln1+x x=0.5 a=1
fx=C0+C1(x-a)+C2(x-a)2+C3x-a3+C4(x-a)4+C5x-a5+C6(x-a)6+R6
K | fk(x) | fk(a) | K! | Ci | Polinomio | F.aprox | F.real | Rn(x) |
0 | ln⁡(1+x) | 0.6931 | 1 | 0.6931 | 0.6931 |0.6931 | 0.4055 | 0.2876 |
1 | (1+x)-1 | 1/2 | 1 | 1/2 | 0.6931+(x-1)2 | 0.4431 | 0.4055 | 0.0376 |
2 | -(1+x)-2 | -1/4 | 2 | -1/8 | 0.6931+(x-1)2-(x-1)28 | 0.4119 | 0.4055 | 0.0064 |
3 | 2(1+x)-3 | 1/4 | 6 | 1/24 | 0.6931+(x-1)2-(x-1)28+(x-1)324 | 0.4067 | 0.4055 | 0.0012 |
4 | -6(1+x)-4 | -3/8 | 24 | -1/64 | 0.6931+(x-1)2-(x-1)28+(x-1)324-(x-1)464 | 0.4057 | 0.4055 | 0.0002 |
5 |24(1+x)-5 | 3/4 | 120 | 1/160 | 0.6931+(x-1)2-(x-1)28+(x-1)324-(x-1)464+(x-1)5160 | 0.40541 | 0.4055 | 0.00009 |

El polinomio de aproximación es: fx=0.6931+(x-1)2-(x-1)28+(x-1)324-(x-1)464+(x-1)5160

6.
7. Encontrar el polinomio de aproximación de Maclaurin de grado 6 para la función fx=ecosx

fx=ecosx
f0=e

fIx=-sen(x)*ecosx
fI0=0

fIIx=sen2x*ecosx –cos(x)*ecosx
fII0=-e...