TALLER DE AN LISIS NUM RICO 2 SEGUIMIENTO Parte 2

2. una cadena uniforme de longitud l, está colocada sobre una tabla horizontal,
libre de fricción, de tal manera que una longitud bde la cadena cae por el borde.
Es fácil demostrar que el tiempo T que tardará la cadena en deslizarse
completamente hacia abajo vienedado por
𝑙
𝑙 + √𝑙 2 − 𝑏 2
𝑇 = √ ln (
)
𝑔
𝑏
Siendo g=9,8 la intensidad del campo gravitatorio. Si T=15 y b=5, demostrar que
existe almenos una raíz l* positiva de la ecuación. Calcular el mínimo número n
de iteraciones necesarias en el algoritmo de bisección paraaproximar l* con un
error absoluto menor que 10-5, partiendo del intervalo [130,140].
Debemos probar que 𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) < 0 siendo a=130 yb=140
130
130 + √1302 − 52
𝑓(𝑎) = 𝑓(130) = √
ln (
) − 15 = −0,6102985393
9,8
5
140
140 + √1402 − 52
𝑓(𝑏) = 𝑓(140) = √
ln (
) − 15 =0,213193483
9,8
5
Entonces 𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) < 0 ⇒ −0,61029 … ∗ 0,21319 … < 0 ⇒ −0,1301077 < 0 por
lo tanto si existe por lo menos una raíz en elintervalo [130,140]
Ahora para comprobar el número mínimo de iteraciones en bisección debemos
hallar la n de tal forma que:
𝑏−𝑎
<10−5
2𝑛
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 |𝑃𝑛 − 𝑝| ≤ 10−5
140 − 130 10
= 𝑛 ≤ 10−5
2𝑛
2
log(10 ∗ 2−𝑛 ) ≤ log(10−5 )
log(10) + log(2−𝑛 ) ≤ −5
log(10) − 𝑛𝑙𝑜𝑔(2) ≤ −5
−5 −log(10)
−𝑛 ≤
log(2)
5 + log(10)
𝑛≥
= 19,93 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 20
log(2)
El número mínimo de pasos a realizar es de 20
|𝑃𝑛 − 𝑝| <