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METODOS NUMERICOS 3006907
TALLER 10, SEMESTRE 02–2014
Tema: Programaci´on en Matlab
1. Considere la siguiente funci´on para aproximar la funci´on seno usando la serie de potencias:
function [sen, n] = senPot(x, tol)
% Calcula sen(x) usando la serie
% de potencias
sen = 0; t = x;
k = 1; n = 0;
while abs(t) > tol
sen = sen + t;
t = - x^2/((k+1)*(k+2))*t;
k = k+2; n = n+1;
end
end(a) Modifique esta funci´on para incluir nmax, un n´umero m´aximo de iteraciones, como par´ametro de entrada.
(b) Modifique esta funci´on para obtener una funci´on cosPot que eval´ue el coseno.
(c) Eval´ue senPot para x = (4k + 1)π/2 con k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y observe los resultados.
(d) Modifique senPot para que desplace la entrada de tal manera que la serie se eval´ue siempre para unargumento entre 0
y π/2.
2. La siguiente funci´on eval´ua un polinomio p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn para un argumento x empleando el m´etodo de
Horner para evaluar un polinomio:
p(x) = a0 + x · (a1 + x · (a2 + x · (a3 + · · · + (an−1 + x · an ) · · · )))
function r = PoliEval (a,x)
% Entrada: a ... vector de coeficientes del polinomio p
%
x ... argumento
% Salida: r ... p(x)
m =length(a);
r = a(1);
for j = 2:m
r = r * x + a(j);
end
end

Modifique esta funci´on para evaluar un polinomio en la forma que resulta directamente del m´etodo de interpolaci´on de
Newton, para nodos x0 , x1 , . . . , xn
p(x) = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · · + cn (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 )
extendiendo el m´etodo de Horner apropiadamente:
p(x) = c0 + (x − x0) · (c1 + (x − x1 ) · (c2 + (x − x2 ) · (c3 + · · · + cn (x − xn−1 ) · · · ))).
La funci´on tiene como par´ametros el vector c de coeficientes en orden cn , cn−1 , . . . , c1 , c0 , el vector x de nodos, y el argumento
x:
y = PoliNewtonEval(c, xx, x)
3. Escriba una funci´on DivSintetica (p, c) que implemente la divisi´on del polinomio con vector de coeficientes p por
x − c. La funci´onretorna el vector q de coeficientes del polinomio cociente, y el residuo:
function [q, r] = DivSintetica(p, c)
Ayuda: Es similar a la regla de Horner.

4.

(a) Escriba una funci´on
dp = DPoli(p)
la cual dado el vector de coeficientes p de un polinomio, retorna el vector de coeficientes de su derivada.
(b) Generalice lo anterior a una funci´on
dnp = DnPoli(p, n)
que retorna la n-´esimaderivada del polinomio.

5. Programe el m´etodo de Halley para estimar la soluci´on de una ecuaci´on f (x) = 0, cuya f´ormula de iteraci´on es
g(x) = x −

f (x)
f (x) f (x)
1−
f (x)
2( f (x))2

−1

.

Para este prop´osito, se recomienda modificar la rutina newton.m. La funci´on debe tener los argumentos de entrada y salida
que se especifican a continuaci´on:
[p,err,k,yp] =halley(f,df,df2,p0,delta,epsilon,max)
donde:
• f, df, df2 son la funci´on objetivo, su primera y segunda derivada respectivamente.
• p, err, k, yp, p0, delta, epsilon, max son como en la rutina newton.m
6. Programe el m´etodo de la secante para estimar la soluci´on de una ecuaci´on f (x) = 0, cuya f´ormula de iteraci´on es:
pn+1 = pn −

f (pn )(pn − pn−1 )
f (pn ) − f (pn−1 )

Para este prop´osito,se recomienda modificar la rutina newton.m. La funci´on debe tener los argumentos de entrada y salida
que se especifican a continuaci´on:
[p,err,k,yp] = secante(f,p0,p1,delta,epsilon,max)
donde:
• p0, p1 son dos aproximaciones iniciales.
• p, err, k, yp, f, delta, epsilon, max son como en la rutina newton.m
7. El siguiente segmento en Matlab encuentra la soluci´on de un sistema de ecuacioneslineales triangular inferior Ax=b donde
L es la matriz triangular inferior de coeficientes y b es un vector columna. Haga las modificaciones necesarias para resolver
un sistema triangular superior con el mismo m´etodo.
n = length(b);
x = zeros(n,1);
for i = 1:n
x(i) = b(i)/L(i,i);
for j = i+1:n
b(j) = b(j) - L(j,i)*x(i);
end
end

8. Sustituya ??1?? y ??2?? apropiadamente para que la...