Taller repaso

Ley de los grandes números
Cualquiera sea la distribución de la variable X (siempre que tenga esperanza y variancia finitas),
la distribución de la media muestral ( X ) se concentra más y más alrededor de la media
poblacional, µ, conforme aumente el tamaño de la muestra. La Ley de los Grandes Números
enuncia este concepto en términos de probabilidad:
Enunciado: Sea d un número real positivo,arbitrariamente pequeño. La probabilidad de que la
media muestral X diste de la poblacional µ en una magnitud mayor que d tiende a "cero" a
medida que el tamaño de la muestra (n) tiende a "infinito" .
En símbolos :

P{ X − µ > d } ∞ →0

n→

Lo que significa que

X →µ

para

n→∞

Teorema de Bernoulli (Aplicación de la Ley de los Grandes Números)
Estudia el comportamiento de laprobabilidad de la frecuencia relativa en un esquema binomial.
Sea un suceso A tal que

fA =

nA
∴ P ( A) = p
n

Enunciado :
Sea ε un número real positivo, arbitrariamente pequeño. La probabilidad de que la proporción
muestral h diste de la poblacional p en una magnitud menor que ε tiende a "uno" a medida que el
tamaño de la muestra (n) tiende a "infinito" .
En símbolos:

P{ h − p< ε } ∞ →1

n→

Lo que significa que h→p, para n→∞

Teorema Central del Límite
Es el teorema más importante de la Teoría y Practica Estadística. La Ley de los Grandes
Números trata de la convergencia en probabilidad, pero nada dice acerca de la distribución de la
media (o proporción) muestral.
El Teorema Central del Límite trata de la convergencia en distribución de la suma devariables
aleatorias independientes, de las cuales no se requiere conocer su distribución.
Enunciado : Sean n variables aleatorias independientes : X1 , X2 ,...., Xn independientes con
esperanza y variancia finitas, con n grande. Entonces la distribución de la suma de estas variables
converge a la distribución Normal.
En símbolos:
Sean X1 , X2 ,...., Xn independientes con

E ( X i ) = µi
V ( X i) = σ i2

n

Sea Sn = ∑ X i

= X 1 + X 2 + ...... + X n

i =1

Entonces

S n − E (S n )

σ (S n )

D

→ N (0,1)

n→∞

Ya vimos que:
n

E(Sn) = E (

∑X

n

i)

=

i =1

n

n

∑ E ( X ) =∑ µ

y

i

i =1

n

i =1

i =1

n

n

i =1

i =1

= V ( ∑ X i ) = ∑ V ( X i ) = ∑ σ i2

V(Sn)
n

n

∑ X i − ∑ µi S n − ∑ µi D
i =1
i =1
i =1=
→ N (0,1)
n
n
2
2 n →∞
∑σ i
∑σ i

Luego tenemos que:

i =1

i =1

Distribución de la media muestral X
Se considera una muestra de n elementos de una población. Se define Xi como la
observación hecha al i-ésimo elemento. Se dispone entonces de
n
variables
aleatorias independientes X1 ,X2 ,....,Xn idénticamente distribuidas.
E(Sn) =

V(Sn)

n

n

n

i =1

i =1i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

E ( ∑ X i ) = ∑ E ( X i ) = ∑ µ = nµ

= V ( ∑ X i ) = ∑ V ( X i ) = ∑ σ i2 = nσ 2

Sn − E ( Sn )
V ( Sn )

pero

y

=

S n − nµ
nσ

S n − nµ
nσ2

=

( Sn − nµ )
=

nσ n

para n → ∞

Sn − nµ
nσ

n =

D

N( 0,1 )

→
n →∞

X −µ
σ
n

D

→
n →∞

 σ 
X ~ N  µ,

n


N( 0,1 )

Por lo anteriorla distribución muestral de

X es la distribución de probabilidad de

X

todos los valores de la media muestral
Donde:

X en el muestreo tiene la media

1. La distribución de

E( X ) = µ
X en el muestreo tiene la desviación típica

2. La distribución de

σX =

σ
n

X

Se llama error típico de

3. Si el tamaño de la muestra, n, no es pequeño en comparación con el tamañode la población,
N, el error típico de

X es:

σX =

σ N −n
n N −1

Generalmente se usa si la población es finita y n/N > 0.05.
4. Si la población de la que procede la muestra es normal y por tanto la distribución de las medias
muestrales en el muestreo es normal, (o por el TCL si el tamaño de la muestra es grande,
para n ≥ 30 ) entonces la variable aleatoria

Z=

X −µ
σX...