Taller3 Sol

Univ. Nacional de Colombia, Medell´ın – Escuela de Matem´aticas ” Matem´aticas
Discretas – Marzo 8, 2010

Soluciones Taller 3

√
√
√
1. Pruebe usando contradicci´on que: 2 + 6 < 15. (Sin usar calculadora,
s´olo operaciones con enteros.)
√
√
√
Soluci´
on: Supongamos que 2 + 6 ≥ 15. Puesto que ambos lados de
la desigualdad son positivos, elevando al cuadrado a ambos lados se preserva
la desigualdady se obtiene
√ √
√
√
√
( 2)2 + 2 2 6 + ( 6)2 ≥ ( 15)2
y de aqu´ı

√
8 + 2 12 ≥ 15.

Restando 8 en ambos lados y elevando al cuadrado de nuevo se obtiene
√
(2 12)2 ≥ 72 ,
de donde
48 ≥ 49.
Esto u
´ltimo es una falsedad.
Por lo√tanto, lo asumido,
√
√
tambi´en falso. As´ı que 2 + 6 < 15.

√

2+

√
√
6 ≥ 15 es

2. Pruebe que: Para todo entero n, si n2 es impar, entonces n es impar.
Soluci´
on:Probamos el contrapositivo: si n es par entonces n2 es par.
Supongamos que n es par, entonces por definici´on n = 2k para alg´
un entero
k. Elevando al cuadrado se obtiene
n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2 ).
Pero = 2k2 es entero, por lo tanto n2 = 2 es par.
3. Pruebe lo siguiente:
Para cualquier n´
umero entero, si 3n + 2 es impar entonces n es
impar.
Soluci´
on:

Probamos el contrapositivo:
1

“Si n es parentonces 3n + 2 es par.”
Suponemos que n es par. Entonces existe un entero k tal que n = 2k y
reemplazando se obtiene
3n + 2 = 3(2k) + 2 = 2(3k + 1).
Puesto que = 3k + 1 es un entero, entonces 3n + 2 = 2 es par.
4. La propiedad de un n´
umero entero de ser par o impar se denomina paridad.
Dos enteros tienen la misma paridad si ambos son pares o ambos son impares,
y tienen paridad opuesta si uno espar y el otro impar. Pruebe lo siguiente:
Dos n´
umeros enteros consecutivos cualesquiera tienen paridad opuesta.
Soluci´
on:
casos:

Sean n y n + 1 dos enteros consecutivos. Consideramos dos

n es par: Entonces existe un entero k tal que n = 2k y por lo tanto
n + 1 = (2k) + 1 = 2k + 1,
el cual es un entero impar por definici´on.
n es impar: Entonces existe un entero k tal que n = 2k + 1 y por lotanto
n + 1 = (2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1).
Puesto que = k + 1 es entero, entonces n + 1 = 2 es un entero par
por definici´on.
Hemos obtenido en ambos casos que n y n + 1 tienen paridad opuesta.
5. Pruebe lo siguiente
Para m y n enteros, si m y n tienen la misma paridad entonces
m + n es par.
Soluci´
on:

Sean m y n enteros. Consideramos dos casos:

m y n son pares: Entonces existen enteros k1y k2 tal que m = 2k1 y
n = 2k2 . Por lo tanto
m + n = 2k1 + 2k2 = 2(k1 + k2 ).
Puesto que
definici´on.

= k1 + k2 es entero, entonces m + n = 2 es par por

2

m y n son impares: Entonces existen enteros k1 y k2 tal que m = 2k1 + 1
y n = 2k2 + 1. Por lo tanto
m + n = (2k1 + 1) + (2k2 + 1) = 2k1 + 2k2 + 2 = 2(k1 + k2 + 1).
Puesto que
definici´on.

= k1 + k2 + 1 es entero, entonces m + n = 2 es parpor

Hemos obtenido en ambos casos que m + n es par.
6. Considere la siguiente proposici´on:
Para todo par de enteros m, n, si 7m + 5n = 147, entonces m es
impar ´o n es impar.
(a) Escriba el converso de esta proposici´on.
Soluci´
on: Si m es impar o´ n es impar entonces 7m + 5n = 147.
(b) Escriba el contrapositivo/contrarec´ıproco de esta proposici´on.
Soluci´
on: Si m es par y n es par entonces7m + 5n = 147.
(c) Para cada uno de los anteriores, pru´ebelo o´ de un contraejemplo.
Soluci´
on: El converso es falso: por ejemplo con m = n = 1, ambos
son impares pero 7m + 5n = 147. El contrapositivo es equivalente a la
afirmaci´on original, y es verdadero. Probamos el contrapositivo:
Sean m y n enteros pares. Entonces existen enteros k1 y k2
tal que m = 2k1 y n = 2k2 . Entonces
7m + 5n = 7(2k1) + 5(2k2 ) = 2(7k1 + 5k2 ).
Puesto que = 7k1 + 5k2 es entero, entonces 7m + 5n = 2
es entero par. Pero 147 = 2 · 73 + 1 es impar. Por lo tanto
7m + 5n = 147.
7. Para dos enteros m y n se dice que son iguales m´odulo k, y se denota
m = n(modk) o´ m ≡ n(modk), si existe un entero tal que
n−m=k .
Pruebe que si m = x(modk) y n = y(modk) entonces
m2 + mn = x2 + xy (modk).
Soluci´
on:
(Este es...