tanx dx

INTEGRAL INDEFINIDA

Nos piden encontrar la integral de ʃ√ (Tan(x)) dx
.Para comenzar, lo primero que tenemos que hacer es tratar de eliminar la raíz, para esto hacemos una sustitución.
Vamos a decir que:
Tan(x) = z2
(aquí derivamos para encontrar dx)
Sec2 (x) dx = 2zdz despejamos dx y vamos a tener que:

dx =2zdz / Sec2 x

Entonces, sustituyendo laintegral original vamos a tener que:

I= ʃ√ Z2 . 2zdz
Sec2 (x)
Sec2 no se cancela con nada, entonces la raíz se elimina con el cuadrado de z y queda:


I= Z2 . 2zdz = I= ʃ 2z2 dz
Sec2(x) Sec2(x)


Como secante (Sec2) no se cancela con nada, lo tenemos que convertir enfuncion de z.
para hacer esto recordemos que la relacion con z es que sec2 es Tan2 (x)+1 .

Como Tan es = Z2 entonces Sec x es igual a :
Sec2 (x) = Tan2x+1 Tan = Z2 como estoy elevando ese Tan2 por eso bajo ese
Cuadrado. Y esto da:
= (Z2)2+1 = Z4+1De aquí la integral que vamos a tener que resolver es:
I= ʃ 2Z2 dz (Esta es nuestra nueva integral).
Z4 +1

lo que vamos a hacer aquí, con esta integral como no se puede utilizar sustitución trigonométrica (pues no se puede factorizar en factores lineales simples), entonces vamos a factorizar con fracciones parciales.

Para hacerlo loprimero que hay que hacer es que (noten que esto) Z4+1 no es una factorización simple, vamos a hacer una factorización donde tenemos que hacer un complementación del trinomio cuadrado perfecto.

Recordemos ese caso de factorización:

Si tenemos = Z4+1 ¿Qué nos hace falta para que sea un trinomio cuadrado perfecto?

Si de Z4 la raíz esZ2 y de 1 es 1 me falta un 2Z2

Entonces tengo que sumarlo y restarlo.

= Z4+1+2Z2-2Z


Ya con estos (tres subrayados) podemos formar un trinomio cadrado perfecto.
entonces tenemos que esto es igual
= (Z2+1)2-2Z2 Un trinomio cuadrado perfecto: que son las raices sumadas o restadasDependiendo del signo que tengana, pero que en esta ocasión es
Conveniente usar el (+) por que conviene que quede -2Z2.

¿Por qué? : Porque aunque factorizamos Z4+1+2Z2 no me quedó factorizado del todo, para esto debo usar el hecho de que esto es una diferencia de cuadrados.
Esto va a ser igual a tener

= ( Z2+1)2-2Z2La raíz de ( Z2+1)2 es Z2+1
La raíz de 2Z2 = √2 Z. (la raíz de Z2 es Z, pero la raíz de 2 es √2)
Entonces nos toca utilizar un radical

= ( Z2+1-√2 Z ) ( Z2+1+√2 Z)
Ahora esto va a ser el denominador de la expresión:

ʃ 2Z2 dz
Z4+1

Entonces vamos a reescribir la integral

I= ʃ 2Z2 dz
( Z2+1-√2 Z ) ( Z2+1+√2 Z)


Luego procedemos a hacerlo por fraccones parcales vamos a tener un coeficiente lineal sobre un coeficiente cuadrático.

Az + B + Cz + D = ʃ 2Z2 dz
Z2 + 1-√2 Z Z2 + 1 + √2Z ( Z2+1-√2 Z ) ( Z2+1+√2 Z)



Para continuar debemos encontrar A B C Y D entonces :

2Z2 = ( Az + B ) ( Z2 + 1 + √2 Z ) + ( Cz + D ) ( Z2 + 1 - √2 Z )
= Az3+ Az + √2 Az2 + Bz2 + B + √2Bz + Cz3 + Cz - √2Cz2 + Dz2 + D - √2Dz

0 = Z3 ( A+C ) = 0
2Z2 = Z2 (√2A+B-√2C+D) = 2
0 = Z ( A+√2B+C-√2D) = 0
0 = B + D = 0

A...