tarea de discurso

Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que interviene una función incógnita y una o varias de sus derivadas.
Este tipo de ecuaciones aparece en el estudio de numerosos fenómenos físicos y químicos: desintegración radiactiva, crecimiento de poblaciones, reacciones qu´ımicas, problemas gravitatorios, etc. No es exagerado afirmar que la naturaleza se describepor medio de ecuaciones diferenciales, de modo que un conocimiento de esta
´ultima materia nos ayudará a entender mejor los fenómenos naturales, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o másvariables.

Ecuaciones diferenciales ordinarias



















Ecuaciones Diferenciales parciales:
Una ecuación diferencial parcial para una función

Con derivadas parciales

Es una relación de la forma

Donde es una función de las variables, en

Donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas.
Es decir:
Son aquellas ecuaciones que contienen derivadasparciales dependientes de dos o más variables independientes.


CLASIFICACIÓN
Así como las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales parciales se clasifican en función a:
Orden
Grado
Linealidad

ORDEN:
Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que interviene en la ecuación.
Es decir, la derivada de mayor orden que aparece en laecuación.

GRADO:
Si F es un polinomio, se define grado de la ecuación diferencial como el grado de y(x) y sus derivadas.

LINEALIDAD:
Una ecuación se dice lineal si:

Donde los ai no todos son cero.
En el caso de la ecuación diferencial la linealidad es caracterizada por la forma:

Donde an(x) es una función de x no cero.

Se observan dos características en dicha forma: lavariable dependiente, en este caso la variable y, junto todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia en y es 1; por otro lado, cada coeficiente depende solo de la variable dependiente de x.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Se dice que una forma diferencial P(x, y) dx +Q(x, y) dy es exacta en un dominio D, si existe una función U(x, y) cuya diferencial es dicha forma en D, esdecir:


Si P(x, y) dx + Q(x,y) dy es exacta, entonces la ecuación diferencial P dx + Q dy = 0 se denomina ecuación diferencial exacta, o ecuación en diferenciales totales.

CLASIFICACIÓN DE LAS EDP DE SEGUNDO ORDEN
Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interésfundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:


ELÍPTICAS
Elípticas: Las que no tienen derivada con respecto al tiempo son elípticas.
Ejemplo. Laplace Elíptica

Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

PARABÓLICAS
Parabólicas: las quetiene primera derivada con respecto al tiempo son parabólicas.
Ejemplo: Difusión Parabólicas.

Es la ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.



HIPERBÓLICAS
Hiperbólicas: Las ecuaciones con segunda derivada con respecto al tiempo son usualmente hiperbólicas.
Ejemplo: Onda Hiperbólica.

Es la ecuación de ondaunidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

EDP DE ORDEN SUPERIOR
Si bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenómenos físicos; otra cantidad menor de procesos físicos hallan solución en EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar:
Flexión mecánica de una placa...