tarea

METODOS DE RUNGE-KUTTA.
Los métodos de RK se derivan a partir de la serie de Taylor. La forma general de la
ecuación usada para formular el método de RK es

, ∆y n = φ (t n , y n )h

y n +1 = y n + ∆y n

∆yn es la función incremental que puede interpretarse como la pendiente representativa
del intervalo.
En general

φ = a1 k1 + a 2 k 2 + .... + a n k n
Las a’s son constantes y lask’s se definen como:

k 1 = f (t n , y n )

k 2 = f (t n + p1 h , y n + q11 k 1 h )

k 3 = f (t n + p 2 h , y n + q 21 k 1 h + q 22 k 2 h )

.
.
k n = f (t n + p n −1 h , y n + q n −1,1 k 1 h + q n − 2 k 2 h + ... + q n −1, n −1 k n −1 h )
Para derivar los valores de las constantes a y k en el método de RK de 20, escribimos

y n + 1 = y n + (a 1 k 1 + a 2 k 2 )h
donde

k1 = f (t n , yn )

k 2 = f (t n + p1 h, y n + q11 k1 h )

Desarrollamos yn+1 en serie de Taylor de 20 orden, tomando como punto base yn

y n+1 = y n + f (t n , y n ) h +

f ′(t n , y n ) 2
h
2!

la derivada de f ( tn , yn ) se desarrolla por medio de la regla de la cadena

f ′(t n , y n ) =

∂f (t , y ) ∂f (t , y ) dy
+
∂t
∂y dt

sustituyendo esta expresión obtenemos

y n +1

 ∂f ∂f dy h 2
= y n + f (t n , y n )h +  +

 ∂t ∂y dt  2!



(1)

1

Además la expansión de f (t n + p1h, y n + q11k1h ) en serie de Taylor, toma la forma
dada por:

g ( x + r , y + s ) = g ( x, y ) + r

∂g
∂g
+s
+ ...
∂x
∂y

entonces, la serie de Taylor de la función mencionada resulta:

f (t n + p1 h, y n + q11k1 h ) = f (t n , y n ) + p1 h

∂f
∂f
+ q11 k1 h + O h 2∂y
∂t

( )

de donde tendremos:

y n +1 = y n + (a1 k1 + a 2 k 2 )h = y n + a1 h f (t n , y n ) + a 2 h f (t n + p1 h, y n + q11 k1 h )



∂f
∂f
= y n + a1 h f (t n , y n ) + a 2 h  f (t n , y n ) + p1 h + q11 k1 h + O h 2 
∂x
∂y


∂f
∂f
= y n + a1 h f (t n , y n ) + a 2 h f (t n , y n ) + a 2 p1 h 2
+ a 2 q11 k1 h 2
+ O h3
∂x
∂y

( )

( )


∂f
∂f 
y n +1= y n + [a1 f (t n , y n ) + a 2 f (t n , y n )]h + a 2 p1
+ a 2 q11 f (t n , y n )  h 2 + O h 3
∂x
∂y 

recordando que k = f (t n , y n ) .

( )

Comparando esta ultima ecuación con (1) arriba

a1 + a 2 = 1
a1 + p 2 =
a 2 q11 =

1
2

1
2

que representan 3 ecuaciones en 4 incógnitas. Existen una familia de métodos de RK de
20 orden, uno de ellos es el definido por

y n+1 = y n + ( 1 k1 + 1 k 2 )h
2
2

2

METODO DE RUNGE-KUTTA (CON COEFICIENTES DE RUNGE).
La formula del método RK de 40 orden es:

y n +1 = y n + ∆y n
donde

, ∆y n =

∆t
(k 0 + 2k1 + 2k 2 + k 3 )
6

k 0 = f (t n , y n )
k
∆t


k1 = f  t n + , y n + 0 ∆t 
2
2 

k
∆t


k 2 = f  t n + , y n + 1 ∆t 
2
2 

k 3 = f (t n + ∆t , y n + k 2 ∆t )

Lascantidades k representan las pendientes en varios puntos:
•
•
•

K0 es la pendiente en el punto inicial del intervalo
K3 es la pendiente en el punto final del intervalo
K2 es una de las pendientes a mitad del intervalo con ordenada y n + 1 k1 ∆t
2

•

K1 es la 2a pendiente a mitad del intervalo con ordenada y n + 1 k 0 ∆t
2

3

Mientras que el método de Euler utiliza una pendiente, elmétodo RK usa un
promedio ponderado de pendientes.
DERIVACIÓN DE LA FORMULA DE RK 40 ORDEN CON COEFICIENTES
DE RUNGE.
Las formulas de los métodos de RK se desarrollan a partir de las serie de Taylor:

′
y n +1 = y n + y n (t n +1 − t n ) +

iv
′
′′′
y n′
(t n +1 − t n )2 + y n (t n+1 − t n )3 + y n (t n +1 − t n )4 + .....
2!
3!
4!

como tn+1 = tn + ∆t,

y n +1

iv
′
′
yn′ 2 y n′′ 3 y n
′
= y n + y n ∆t +
∆t +
∆t +
∆t 4 + .....
2!
3!
4!

definamos yn+1 – yn = =∆yn , entonces

iv
y ′′ 2 y ′′′ 3 y n
n
n
∆y n = y ′ ∆t + ∆t + ∆t +
∆t 4 + .....
n
2!
3!
4!

(A)

Denotamos: y’ = f ( t , y), entonces:

y ′′ = f ′ =

y ′′′ = f ′′ =

[

∂f ∂f dy
+
= ft + f y f
∂t ∂y dt

∂f ′ ∂f ′
+
f =
∂t ∂y

] [

(

)]

= f tt + ( f yt f...