Tarea

La distribución normal o de Gauss
• Distribución límite • La distribución Normal o de Gauss • La distribución de Gauss tipificada • La función integral. Cálculo de la función integral • La desviación estándar de la media • Intervalos de probabilidad y confianza • Diferencias significativas

Técnicas experimentales en Física General

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• La distribución límite
¿Qué ocurre siaumentamos el número de medidas?

N=100 medidas

Histograma de bins de 100 medidas de x

N=1000 medidas

Histograma de bins de 1000 medidas de x

Técnicas experimentales en Física General

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• La distribución límite
Cuando N → ∞ ⇒ nos acercamos a la distribución límite.

Distribución límite f(x)
f ( x )dx = Fraccion de las medidas que se encuentran entre x y x + dx = Probabilidad deque una medida de un resultado comprendido entre x y x + dx
b

∫

a

f ( x )dx = Fraccion de las medidas que se encuentran entre x = a y x = b = Probabilidad de que una medida de un resultado que se encuentre entre a y b

Distribuciones discretas y continuas

x → discretas Fk = nk N

x → continuas Fk = f ( xk )dxk

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Condición denormalización

x → discretas

x → continuas

∑F
k

k

=1

∫

+∞

−∞

f ( x )dx =1

Cálculo de la media

x → discretas x = ∑ Fk xk
k

x → continuas x=∫
+∞

−∞

xf ( x )dx

Cálculo de la desviación estándar

x → discretas nk σ = ∑ ( xk − x )2 k N
2 x

x → continuas

σ = ∫ ( x − x ) 2 f ( x )dx
2 x −∞

+∞

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La distribución Normal o de Gauss
1 2πσ 2
( x − X )2 −
2σ 2

GX ,σ ( x) =

e

∫

+∞

−∞

GX ,σ ( x)dx = 1

Propiedades ♦ Tiene un máximo en x = X ♦ Es simétrica alrededor de X ♦ Tiende a cero rápidamente si x − X >> σ

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• Valor medio y desviación estándar
¿Si se efectúan un gran número de medidas de una variablealeatoria que sigue una distribución de Gauss, ¿qué valores hay que esperar para x y σ x2 ( x) ? Valor medio
x = ∫ xf ( x)dx → x = ∫ xGX ,σ ( x)dx
−∞ −∞ +∞ +∞

x=∫

+∞

−∞

xGX ,σ ( x)dx =
2

1 2πσ
2

∫

+∞

−∞

xe

− ( x − X )2 2σ 2

dx →

y = x− X dy =dx

−y  +∞ − y 2  +∞ 1   2σ 2σ 2 0 + X 2πσ 2 = X x= ye dy + X ∫ e dy  =  ∫−∞ −∞ 2πσ 2  2πσ 2   

1

2{

}

x=X
Desviación estándar

σ ( x) = ∫ ( x − X )2 GX ,σ ( x)dx = σ 2
2 x −∞

+∞

2 σ x ( x) = σ 2

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• La distribución Normal tipificada:
¿Cómo puede estudiarse la distribución de Gauss de forma general?

GX ,σ ( x ) =

1 2πσ 2

e

( x − X )2 −
2σ
2

σ →
z2 − 2

z=

x− X

→ G0,1 ( z ) =

1 e 2πDistribución normal tipificada
G0,1(z)

0.4

← Distribución

Normal tipificada
0.3
σ=1

0.2

1 G0,1 ( z ) = e 2π
1. Máximo en z = 0

z2 − 2

0.1

0.0 -3 -2 -1 0
X=0

2. Puntos de inflexión:
1 2
z

3

z = ±σ = 1

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• La función integral
¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida entre a y b?

Prob(a ≤ x≤ b) = ∫ GX ,σ ( x)dx =
a

b

1 2πσ
2

∫

b

− ( x − X )2

a

e

2σ 2

dx

¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida dentro de una desviación estándar?

Prob( X − σ ≤ x ≤ X + σ ) = =∫
X +σ X −σ

GX ,σ ( x)dx =

1 2πσ
2

∫

X +σ

− ( x − X )2

X −σ

e

2σ 2

dx

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¿Cuál es laprobabilidad de que una medida esté comprendida dentro de t desviaciones estándares?

Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) = =∫
X +tσ X −tσ

GX ,σ ( x)dx =

1 2πσ
2

∫

X +tσ

− ( x − X )2

X −tσ

e

2σ 2

dx

Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) =

1 2πσ
2

∫

X +tσ

− ( x − X )2

X −tσ

e

2σ 2

dx

  dx = σ dz  x− X x − X X + tσ − X  = z →  x2 = X + tσ → z2 = 2 = =t σ σ...