Tarea

TAREA 8 CALCULO DIFERENCIAL
ALEJANDRA ANAHI ESCAMILLA GAONA
15 DE NOVIEMBRE 2013

CONTINUIDAD
DEFINICION 2.4.1 Una funci´
on f es continua en x0 si: lim f (x) = f (x0 ).
x→x0

Esta definici´
onencierra suposiciones que se sobre entienden al escribir la igualdad. Estas son:
1.- que f est´
a definida en un intervalo abierto que contiene a x0 ,
2.- que lim f (x) existe.
x→x0

TEOREMA 2.4.1Supongamos que f y g son funciones continuas en x0 .Entonces
(1) f + g es continua en x0 .
(2) f g es continua en x0 .
(3)Si g(x0 ) = 0, fg es continua en x0 .
TEOREMA 2.4.2 Si lim g(t) = f (x0 ) y f escontinua en x0 , entonces
x→x0

lim f (g(t)) =f (x0 )=f( lim g(t)).

t→t0

t→t0

TEOREMA 2.4.3 Si g es continua en t0 y f es continua en x0 = g(t0 ), entonces f ◦ g es continua en t0 , es decir,
lim f(g(t))=f (g(t0 )).
t→t0

DEFINICION 2.4.2 (1) La funci´
on f es continua en un intervalo aberto (a,b) si y s´olo si f es continua en x, para
toda x en (a,b).
(2)La funci´
on f es continua en un intervalocerrado [a,b] si y s´olo si f es continua en (a,b) y ´ademas f es continua
por la derecha en a ( lim f (x)=f(a)) y continua por la izquierda en b ( lim f (x)=f(b)).
x→b−

x→a+

TEOREMA 2.4.4 Si f escontinua en [a,b] y si
f (a) < c < f (b)of (b) < c < f (a)

(1)

,entonces existe x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = c.
COROLARIO 2.4.5 Todo n´
umero positivo tiene ra´ız cuadrada.Es decir, si α > 0, existex0 ∈

tal que X 2 = α.

COROLARIO 2.4.6 Supongamos que f es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo [a,b].Entonces
para cada c tal que
f (a) < c < f (b)(f (a) > c > f (b))(2)
,existe un u
´nico x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = c.

COROLARIO 2.4.7 Si f es continua y estrictamente creciente en [a,b], entonces f ([a, b]) = [f (a), f (b)].
COROLARIO 2.4.8 Si f es continua yestrictamente creciente en [a, b] ,entonces existe la inversa f −1 :[f (a), f (b)] → [a, b]
y f −1 es continua y estrictamente creciente en [f (a), f (b)].
TEOREMA 2.4.9 Sea f : [a, b] →

continua,...