Tareas


UNIDAD I: MATRICES Y DETERMINANTES
Clase 1
MATRICES
Una matriz de orden m x n se denota por


Ejemplo de matriz B de orden 4x3 (cuatro filas y tres columnas)


El elemento b23 es el número 5 (el elemento que está en la segunda fila tercera columna.

Notas:
- Dos matrices A y B son iguales si y solo si para todo valor de .
Hallar los valores de x , y ,z en la siguienteigualdad:



- Matriz nula es aquella de orden m x n donde todos los elementos son ceros.

OPERACIONES CON MATRICES
- Suma de matrices
Si dos matrices A y B poseen el mismo orden m x n, la suma de ellas es

Observación:
Las matrices se suman elemento a elemento

Propiedad conmutativa y asociativa
i) A + B = B + A
ii) A + (B + C) = (A + B) + C ; matrices A , B y C del mismoorden.
Ejemplo 1: Determinar A+B si:


Solución:





- Resta de Matrices
Si A y B son matrices del mismo orden m x n, entonces


Ejemplo 2:
Dadas las matrices A y B hallar B – A. Siendo
Solución:





- Producto de una constante por una matriz
Si k es un número real y A es una matriz de orden m x n, entonces :

Propiedades:
Si k y t son números reales, A y B son matricesdel mismo orden:
i) k (A+B)=kA+kB
ii) (k+t)A=kA+tA
iii) (kt)A=k(tA)

Ejemplo 3: Determinar -2B , si
Solución:



- Producto de Matrices
Si A y B son matrices de orden respectivamente, el producto AB es posible si y sólo si:

Es decir, que el número de columnas de la matriz A tiene que ser igual al número de filas de la matriz B.

El resultado de multiplicar A con B (AB) esotra matriz C, donde:


Nota: El orden de la matriz C es

Por ejemplo si una matriz A es de orden 5x4 y la matriz B es de orden 4x3 se puede efectuar el producto AB . La matriz resultante del producto AB es del orden 5x3.

El producto de matrices No goza de la propiedad conmutativa, pero si de la asociativa y distributiva, siempre y cuando los productos sean posibles:
i) A(BD)=(AB)D
ii)A(B+D)=AB+AD
iii) (A+B)D=AD+BD
Ejemplo 4: si , determinar AB y BA.

B
-3
1
2
1
A

4
-1
-6
3
-2
1




3
-4




2
5




Solución:
Primero observemos que la matriz A es de orden 3 x 2 y la matriz B es de orden 2 x 4, es decir que AB es posible realizarlo y será una matriz C de orden 3 x 4 . Además BA no es posible realizarlo (B es de orden 2 x 4 y A esde orden 3 x 2).
c11 = fila1 de A por columna1 de B = (-2x-3) + (1x4) = 10
c12 = fila1 de A por columna2 de B = (-2x1) + (1x-1) = -3
c13 = fila1 de A por columna3 de B = (-2x2) + (1x-6) = -10
c14 = fila1 de A por columna4 de B = (-2x1) + (1x3) = 1
c21 = fila2 de A por columna1 de B = (3x-3) + (-4 x4) = -25
c22 = fila2 de A por columna2 de B = (3x1) + (-4 x-1) = 7
c23 = fila2 de A porcolumna3 de B = (3x2) + (-4 x-6) = 30
c24 = fila2 de A por columna4 de B = (3x1) + (-4 x 3) = -9

De la misma manera: c31 = 14 , c32 = -3 , c33 = -26 y c34 = 17. Entonces

Ejemplo 5:
Calcular CD y DC, si es posible, siendo

Solución
C3x3 D3x4 =E3x4 es posible

D
C
0
1
2
1

-2
-1
1
1

5
3
0
2
1
1
-20
5
2




3
-4
3











D3x4 C3x3 No es posible realizar ya que e número de columnas de la matriz D no es igual al número de filas de C

Clase 2
- Inversa de una Matriz
Definiciones preliminares:
Matriz cuadrada: es aquella donde el número de filas es igual al número de columnas.
Diagonal principal de una matriz cuadrada A: es el conjunto de elementosdefinidos por donde i = j.
Matriz transpuesta: La traspuesta de la matriz A se denota por
Si , entonces

Notemos que la filas de C pasan a ser las columnas de

Matriz identidad ( I ) : es aquella matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son “unos” y el resto de elementos son “ceros”.
Ejemplos de matrices identidad:

Propiedad: El resultado del producto de una...