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CAPÍTULO 2 FUNCIONES VECTORIALES
Lección 2.2. Curvas en Rn
Una aplicación F : IRn, donde I es un subconjunto de R se llama una función vectorial. Puesto
que para cada t I, F( t ) Rn, entonces
F( t ) ( f 1( t ), f 2( t ), ..., f n( t ) )
Las funciones f i : IR, i 1, 2, ...n son las funciones componentes de F. Es por ello que todas
las propiedades de F, como veremos, reposan enlas propiedades de las funciones componentes.
Ejemplos:
1. F( t ) P tA, t R, P y A vectores fijos de Rn es una función vectorial que representa una
recta enRn.
2. F( t ) ( cos t, sent ), t R es una función vectorial que representa una circunferencia de
centro cero y radio uno enR2.
3. F( t ) ( t, t2 ), t R es una función vectorial que representa una parábola
La imagenF( I ) esun subconjunto de Rn y determina una curva en él. Es claro que que una curva
enRn puede estár determinada por diferentes funciones vectoriales, por ejemplo:
( t ) ( t, t 2 ), t 0 y ( t ) ( t2, t 4 ), definen la misma curva en enR2. No obstante,
aunque es un abuso, para simplificar la escritura, identificaremos la curva con la función que la
define.
Operaciónes algebraicas:
Definimoslas siguientes operaciones entre funciones vectoriales:
1. ( F G )( t ) F( t ) G( t ), t I, F y G funciones vectoriales.
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2. ( u.F )( t ) u( t ).F( t ), t I, F una función vectorial y u : IR.
3. F, G ( t ) F( t ), G( t ) , t I.
4. ( F G )( t ) F( t ) G( t ), t I, F y Gfunciones vectoriales con valores enR3.
5. (F ° u )( t ) F( u( t ) ), t I, F una función vectorial y u : IR.
Continuidad de funciones vectoriales
Definición(2.2.1): Sea F : IRn una función vectorial. Decimos que F es continua en a I,
si para toda secuencia { tn } I, tal que tna, se cumple que F( t n )F( a ).
De la Definición (2.2.1) se deduce, inmediatamente, que F es continua en asi y sólo si las funciones
componentes de F son continuas en a. Además:
lim
t ka
F( t k ) ( lim
tka
f 1( t k ), ..., lim
t ka
f n( tk ) ). (2.2.1)
Derivabilidad de funciones vectoriales
La derivada de funciones vetoriales se define de la misma manera como la conocemos para funciones
de variable y valor real. Así:
F( a ) lim
ta
F( t a ) F( a )
t (2.2.2)
Cómo seindica en la figura, el vector F( a ) es el vector dirección de la recta tangente a la curva
definida por F y que pasa por el punto F( a ). Si pensamos que F( t ) determina el desplazamiento de
una particula en el espacio Rn a medida que el tiempo t transcurre, entonces F( a ) mide la velocidad
del desplazamiento.http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.texPage 3 of 7
Figura No. 1
Es muy fácil deducir de (2.2.1) y (2.2.2) que
F( a ) ( f 1

( a ), ..., f n

( a ) ) ( 2.2.3 )
La derivación de funciones vectoriales satisface las siguientes propiedades:
1. ( F G )FG.
2. ( u.F ) u.F u.F, con u :RR.
3. F, G F, G F, G.
4. ( F G )FG F G.
5. ( F ° u ) u.F( u ), con u : RR.
Comoconsecuencia de la propiedad 3. anterior tenemos el siguiente
Teorema (2.2.1): Sea F una función vectorial definida en algún intervalo I. Si F( t ) c,
para todo t, entonces
F( t ), F( t ) 0.
El Teorema nos dice que el vector posición de la curva y su vecror tangente son perpendiculares para
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todo valort.
Si pensamos que es una partícula que se mueve a lo largo de la curva que describe la imagen de una
función vectorial F, entonces F( t ) es el vector que mide la posición de la partícula, F( t ) será el
vector velocidad y F( t ) será el vector aceleración. Es costumbre nombrar, entonces,
F( t ) V( t ), vector velocidad y F( t ) A( t ), vector aceleración. Además denotaremos
v( t...