Tareas

Lecci´n 15 o

Torsi´n uniforme o
Contenidos
15.1. Distribuci´n de tensiones tangenciales est´ticamente equio a valentes a un momento torsor . . . . . . . . . . . . . . . . 186 15.2. Torsi´n uniforme en barras prism´ticas de secci´n ciro a o cular. Teor´ elemental de la torsi´n . . . . . . . . . . . . 186 ıa o 15.3. Torsi´n uniforme en barras prism´ticas de secci´n no o a o circular maciza . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 15.4. Torsi´n uniforme en barras prism´ticas de secciones transo a versales cuadradas y rectangulares . . . . . . . . . . . . . 189 15.5. Torsi´n uniforme en barras prism´ticas de secci´n de o a o pared delgada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 15.6. Sistemas hiperest´ticos sometidos a torsi´n uniforme . . 193 a o 15.7.Torsi´n no uniforme en barras prism´ticas . . . . . . . . 194 o a 15.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

15.1

Distribuci´n de tensiones tangenciales est´ticameno a te equivalentes a un momento torsor

Una barra prism´tica trabaja a torsi´n uniforme cuando el unico esfuerzo presente a o ´ es unmomento torsor, constante a lo largo de toda ella, y el desplazamiento de todos los puntos de la superficie de la barra es libre. Cualquier barra torsionada que no cumpla alguna de las dos condiciones anteriores trabaja a torsi´n no uniforme. o

15.2

Torsi´n uniforme en barras prism´ticas de secci´n o a o circular. Teor´ elemental de la torsi´n ıa o

Las barras prism´ticas de secci´n circular sonel elemento estructural m´s com´n a o a u sometido a torsi´n. Se puede demostrar que debido a la simetr´ de la secci´n transo ıa o versal, las secciones transversales planas normales al eje de la barra permanecen planas durante la deformaci´n y no sufren distorsi´n en su propio plano. Esto se o o aprecia en la Figura 15.1. Se ha trazado una rejilla sobre la barra sin deformar, como se muestra enla Figura 15.1 a). Al deformarse, las secciones transversales circulares permanecen siendo circulares y las l´ ıneas longitudinales forman h´lices que intersecan e a los c´ ırculos seg´n ´ngulos iguales, como se muestra en la Figura 15.1 b). u a

Figura 15.1 Deformaci´n de una barra prism´tica de secci´n circular sometida a o a o torsi´n uniforme o Sea una rebanada diferencial de la barra, delongitud dx, como se muestra en la Figura 15.2. Se considerar´ un elemento en la superficie de esta, definido por sus a v´rtices a, b, c y d. Los lados ab y cd son inicialmente paralelos al eje longitudinal. e Durante la torsi´n de la barra, las secciones transversales extremas giran una respecto o a la otra un ´ngulo dφ , de manera que, considerando como referencia la secci´n a o extrema de laizquierda, los puntos b y c pasan a la posici´n b’ y c’. Se considera o que las longitudes de los lados del elemento, ahora ab’ y dc’, no han cambiado. Sin embargo, si se ha producido una deformaci´n angular, de valor o bb (15.1) ab γm´x viene expresada en radianes. La distancia ab es la longitud de la rebanada a diferencial, dx. γm´x = a

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Figura 15.2 Rebanada diferencial sometida a torsi´n pura o Por otro lado, si r es el radio de la secci´n transversal, bb’ puede expresarse como o rdφ, y la ecuaci´n (15.1) como o γm´x = a rdφ dx (15.2)

dφ En la ecuaci´n 15.2 o es la raz´n de cambio del ´ngulo de torsi´n con respecto a la o a o dx distancia x medida a lo largo del eje de la barra. Dicha raz´n se denota con laletra o θ y se denomina ´ngulo de torsi´n por unidad de longitud, a o dφ dx Sustituyendo en la ecuaci´n (15.2) la (15.3), aquella toma la forma o θ= γm´x = rθ a (15.3)

(15.4)

Como los radios en las secciones transversales permanecen rectos y sin deformar durante la torsi´n, el an´lisis realizado anteriormente es v´lido para cualquier eleo a a mento sobre la superficie de un cilindro interior...