Tares...

Probabilidad Condicional e Independencia
Pedro J. Rodríguez Esquerdo
Instituto de Estadística y Sistemas Computadorizados de Información
Facultad de Administración de Empresas
y
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Naturales
Recinto de Río Piedras
Universidad de Puerto Rico

1. Probabilidad condicional
Generalmente hablando, la probabilidad condicional de un evento A dadootro evento B, denotada
P(A|B), es la probabilidad de que el evento A ocurra cuando sabemos que el evento B ocurrió. La razón por la
cual se llama condicional es que la probabilidad de que el evento A ocurra está condicionada por la ocurrencia
de B. Esta información adicional sobre A se incluye en el cómputo de su probabilidad condicional cuando se
analizan los resultados posibles que se puedenobservar cuando es conocido que B ha ocurrido.

2. Probabilidad condicional como la razón de dos áreas
Considere un tablero S como el de al lado, al cual se lanza un dardo. El
tablero está compuesto de discos concéntricos D, A, B, y C. Suponga que luego
de lanzar el dardo, sabemos que aterrizó en el disco A. ¿cuán probable es que
haya aterrizado también en B?

C

B
BB

A
D

Porsimplicidad, suponga que el dardo siempre cae en el tablero S.
Esto significa que la probabilidad de que el dardo aterrice en el tablero es 1.
Suponga además, que D, A, B, C se refieren a los discos y no tan sólo a la franja
que se ve a simple vista en la Figura 1. Así D es un disco que contiene al disco
A, el que a su vez incluye el disco B. Este último incluye el disco C.

S
Figura 1.Tablero de dardos

La probabilidad de que un dardo aterrice en cualquier disco se relaciona directamente al área del disco.
Se le asigna probabilidades a las varias regiones en la tabla tomando la razón del área de la región al área del
tablero S. Esta asignación es razonable, ya que mientras más grande es la región, más probable debe ser que el
dardo aterrice allí. El área del tablero Sconstituye la unidad contra la cual comparar las otras áreas. Además, si
se compara el área de S consigo misma se obtiene una razón de 1, por lo que a S se le asigna una probabilidad
de 1. Con esta suposición, el área de cada disco es igual a la probabilidad de que el dardo caiga en el disco.
Denota el evento de que el dardo aterrice en el disco D, A, B o C por el nombre del disco. Suponga
además quela razón del área del disco A al disco D es 1/2, del disco B al D es 1/10 y del disco C al D es 1/60.
Entonces P( A ) = 1/2, P ( B ) = 1/10, P ( C ) = 1/60 y P ( D ) = 1.

1.2 Axiomas de probabilidad

p. 2

Se hace el siguiente experimento: igual que con el juego de colocar la cola al burro, una persona se
venda los ojos y lanza un dardo. Un juez indica que aterrizó en el disco A. Entoncesse pregunta ¿cuál es la
probabilidad de que haya aterrizado en B? Si no se uso del hecho de que el dardo aterrizó en A, la contestación
a la probabilidad buscada es 1/10. Pero es sabido que el dardo aterrizó en A, que B está contenido totalmente
en A y que el área de B es una quinta parte del área de A, entonces la respuesta correcta es 1/5, estableciendo
que P( B | A ) = ( 1 / 10 )  ( 1 / 2) = 1 / 5.
Como se sabe que el dardo aterrizó en A, el área de A se convierte en una nueva unidad contra la cual
medir otras áreas, por eso, para comparar, esa cantidad se incluye en el denominador. Dado el hecho que el
dardo aterrizó en A, la única manera en que el dardo puede aterrizar también en la región B es que haya
aterrizado simultáneamente en ambas regiones. El numerador correspondeentonces al área en común de las
regiones A y B, como B está contenida en la región A, entonces A  B = B y por lo tanto P ( A  B ) = P( B ).
Pregunta 1
¿Cuál es la probabilidad que el dardo haya aterrizado en A si sabemos que aterrizó en B?
Como se sabe que B está contenido totalmente en A, si el dardo aterriza en B entonces necesariamente
tiene que haber aterrizado también en A....