Tecnica De Integracion

Tema II. Técnicas de Integración.
Integración por partes. La integración por partes surge del producto de una func ió n

trascendente y u na algebraica, una inversa trigonométrica y una algébrica, una trigonométr ica y una algebraica, una trascendente y una trigonométr ica, una inversa trigonométr ica sola y una

logarítmica so la. Teorema 19. Integración por partes. Sean

uyv

funciones de

x

y tienen der ivadas continuas, ento nces,

 udv  uv   vdu  c
Demostración:

Sea uv ~ (1) Derivamos la exp resión (1) : d ( uv )  udv  vdu ~ (2) Despejando de (2) : udv  d ( uv ) - vdu ~ (3) Integrando (3) tenemos que :

 udv   duv -  vdu  c ~ (4)
Q .E .D
Nota: Cuando estamos frent e a una int egral por partes, es

conven ien te seleccionar como

dv

laparte más complicada, pero de

más fácil int egración y como

u

el resto. Luego iniciamos el

proceso de integración cuantas v eces sea nec esario.

Regla nemotécnica: 1. Logarítmica, inversa, algebraic a, trigonométrica y

exponenc ial: LIATE. 2. Irracionales, Logarítm icas, Potenciales, Exponencia les ,

Trigonométr icas: I L P E T. Ejemplos. Res uelva las s iguient es int egrales:1.  xe 2 x dx Hacemos u  x Derivamos a u : du  dx dv  e2 x dx ~ (b) Integramos a b : e2 x  dv  e dx  v  2 Aplicando el métdo de int egración tenemos que :
2x

xe 2 x e2 x  xe dx  uv   vdu  c  2   2 dx xe 2 x e 2 x 2x  xe dx  2  4  c
2x

2.  ex senxdx Hacemos u  senx Derivamos a u : du  cos xdx dv  ex dx ~ (b) Integramos a (b) :

 dv   e dx  v e
x x

xx

Aplicando el métdo de int egración tenemos que :

 e senxdx  e senx   e e
x

x

cos xdx ~ (c)

Dado que la integral de la derecha es por parte, aplicamos el métdo de nuevo. cos xdx  ex cos x   ex senxdx  ex cos x   ex senxdx ~ (d )

u  cos x  du  senx dv  ex dx   dv   e x dv v  ex Como se puede obsevar la integral original se repite, porque es cíclica, portanto sustituímos a (d) en (c)

 e senxdx  e senx  e cos x   e senxdx  c  e senxdx   e senxdx  e senx  e cos x  c 2 e senxdx  e senx  e cos x  c
x x x x x x x

x

x

x

x

ex senx  ex cos x c  e senxdx  2
x

Método Tabular El método tabular hace que las int egrales por partes sean

bastantes sencillas, en espec ial en los casos que se tienen que aplicar variasvec es. Esta vers ión p articular fu e desarrollada por Dan Rosen en la Un iv ersidad Hofstra. Procedimiento: Para calcular

 fgdx ,

construimos una tabla, en la que obtenemo s

las funcio nes en la columna “D” por diferenc iar repetidamente la funció n funció n

f , y las en la g . Los signos
D f  Df  D2 f 

columna “ I” po r integrar repetidament e la van alt ernándose.

Signos     

I g I (g) I 2 (g)

... 

... D f
n

...  I n (g)

Se con tinúa est e proceso hasta que:  La función a la izquierda se conv iert a en c ero (en caso qu e sea un po linom io.  El producto de las funcion es en el últ imo reglón se pueda int egrar.  El producto de las f uncio nes s ea un múlt iplo cons tante del producto de las fu ncio nes en el primer reglón. Este métodofunc iona bien para las integrales del t ipo:

xn cosaxdx, xnsenaxdx, xneaxdx 
Ejemplo. Res uelva la integral dada ut ilizando el método tabu lar.

 x e dx  x e
Signos   

3 x

3 x

 3x2ex  6xex  6ex  C dv y sus int egrales ex ex ex ex ex x3 3x2

u y sus derivadas

6x 6 0

Integrales Trigonométricas
En el campo de la Física, Ingenier ía y la Qu ím ica nosencontramos con aplicac iones d e integrales, cu yas func iones son trigonométr icas. Las más usuales son de los t ipos:

senmxcosn xdx 

y

secm xtann xdx 

Integrales que contienen potencias de senos y cosenos 1. Si la pot encia d el seno es impar y posit iva, conservar un factor seno y pasar los factores restantes a cosenos.

Entonces, d esarrollar e in tegrar.

 sen x cos xdx  ...