telecom

U

Φ

Μ

Departamento de Física Teórica II
(Métodos Matemáticos de la Física)
Universidad Complutense

Ecuaciones Diferenciales II
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u(t, x)

0
−1
0

5

x
1

0

t

Manuel Mañas Baena y Luis Martínez Alonso

Índice General

1 Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales
1.1 Definición de EDP. EDP lineales . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Aspectosgenerales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 EDP relevantes en la Física . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Cambio de variables independientes . . . . . . . . .
1.2 Condiciones de contorno o frontera. Condiciones iniciales
1.2.1 Dominios. Fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Condiciones iniciales . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Existencia local de soluciones de EDP . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . .
Funciones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 El teorema de Cauchy-Kovalevskaya . . . . . . . . . .
1.4 Problemas de Cauchy. Hipersuperficiescaracterísticas . .
1.4.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Curvas características para EDP de primer orden . .
1.4.3 Curvas características para EDP de segundo orden
1.5 Operadores diferenciales. Problemas lineales . . . . . . . .
1.5.1 Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Operadores de frontera y de condiciones iniciales .
1.5.3 Problemaslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Cuestiones y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Teoría espectral de operadores diferenciales. Análisis de Fourier
2.1 Producto escalar en espacios funcionales . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Cambios de coordenadas . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
2.2 Conjuntos ortogonales de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Desarrollos en serie de funciones ortogonales . . . . . .
2.2.2 Conjuntos ortogonales completos . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Operadores diferenciales simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL
2.4 Autovalores y autofunciones. Operadores simétricos . . . . . .
2.4.1 Problemas de autovalores . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
2.4.2 Autovalores y autofunciones de operadores simétricos .
2.5 Operadores de Sturm–Liouville en una dimensión . . . . . . . .
2.5.1 Caso regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carácter simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Caso singular . . . . . . ....