Tema 1

Solucionario

14

Integral definida
ACTIVIDADES INICIALES

14.I. Con ayuda de la calculadora, obtén la suma de los cien primeros términos de esta progresión:
5 , 5, 5 5 , 25, 25 5 ,...

Se trata de una progresión geométrica de razón r =

5 , por lo que:

a ⋅ r − a1 550 ⋅ 5 − 5
S= n
=
≈ 1 61⋅ 1035
,
r −1
5 −1
14.II. Expresa la función f ( x ) = x − 2 + x + 3 como una funcióndefinida a trozos.
 −2 x − 1 si x < −3
−( x − 2) − ( x + 3) si x < −3


si − 3 ≤ x ≤ 2 .
f ( x ) = −( x − 2) + ( x + 3) si − 3 ≤ x ≤ 2 , es decir, f ( x ) = 5
2 x + 1 si x > 2
( x − 2) + ( x + 3)
si x > 2


14.III. Desarrolla estas sumas:
4

a)

 (5 − i )

2

i =1

6

b)

 (1 + i )( x

i

− x i −1)

i =1
4

a)

 (5 − i )

2

= (5 − 1)2 + (5 −2)2 + (5 − 3)2 + (5 − 4)2 = 4 2 + 3 2 + 2 2 + 12 = 30

i =1

6

b)

 (1 + i )( x

i

− x i −1 ) = (1 + 1)( x1 − x 0 ) + (1 + 2)( x 2 − x1 ) + (1 + 3)( x 3 − x 2 ) + (1 + 4)( x 4 − x 3 ) +

i =1

+(1 + 5)( x5 − x4 ) + (1 + 6)( x6 − x5 ) = −2 x 0 − ( x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) + 7 x 6 .
14.IV. Encuentra los puntos de intersección entre las parábolas: f ( x ) = 6 x − x 2 y g ( x )= x 2 − 2 x .
x 2 − 2 x = 6 x − x 2  2 x 2 − 8 x = 0  2 x( x − 4) = 0  x = 0, x = 4 . Los puntos de corte son A(0, 0) y B(4, 8).

EJERCICIOS PROPUESTOS
14.1. Obtén con el método visto el área del trapecio limitado por la recta y = 2 x + 1 , el eje horizontal y las
verticales x = 0 y x = 4. Comprueba el resultado calculando el área geométricamente.
1
.
n
Se calcula la suma de las áreasde los rectángulos obtenidos tomando como base la longitud de cada
subintervalo y como altura la ordenada del extremo derecho.
Se divide el intervalo [0, 4] en 4n subintervalos, cada uno de longitud

1 1
2
3
4n − 1
4n  1  2 + 4 + 6 +  + 2( 4n − 1) + 8n

2 + 1 + 2 + 1 + 2 + ... + 2
+ 1+ 2
+ 1 = 
+ 4n  =
n n
n
n
n
n
n
 n


 2 + 8n

⋅ 4n
2
2
2
 1  (1 + 4n)4n
1 2
4 + 20n 4
 1  4n + 16n + 4n  4n + 20n
+ 4n  = 
+ 4n  = 
=
= + 20 .

=
2
n
n
n
n
n
n
n
n
 n





Sn =

4

2
Se toma como área del recinto el número A = lim Sn , es decir, A = lim  + 20  = 20 u .
n → +∞ n
n → +∞


Geométricamente, el trapecio tiene altura 4 y bases 1 y 9. Su área es:
A=

9 +1
⋅ 4 = 20 u2, que coincide con laobtenida con el método anterior.
2

200

Solucionario

14.2. Obtén una fórmula para 13 + 2 3 + ... + n 3 . Para ello procede de forma análoga a la del primer ejemplo,
desarrollando las cuartas potencias de (n + 1).
14 = 1
24 = (1 + 1) = 14 + 4 ⋅ 13 + 6 ⋅ 12 + 4 ⋅ 1 + 1
4

34 = ( 2 + 1) = 24 + 4 ⋅ 23 + 6 ⋅ 22 + 4 ⋅ 2 + 1
4



( n + 1)4 = n 4 + 4 ⋅ n3 + 6 ⋅ n 2 + 4 ⋅ n + 1
Sumandolos primeros miembros y los segundos miembros, se obtiene:

14 + 2 4 +  + (n + 1) =
4

(14 + 2 4 +  + n 4 ) + 4(13 + 23 +  + n 3 ) + 6(12 + 2 2 +  + n 2 ) + 4(1 + 2 +  + n ) + n + 1
Luego (n + 1) = 4(13 + 2 3 +  + n 3 ) + 6(12 + 2 2 +  + n 2 ) + 4(1 + 2 +  + n ) + n + 1
4

Se despeja la suma de los n primeros cubos y se aplican las fórmulas ya conocidas:
(n + 1)4 − 6(12 + 2 2 + + n 2 ) − 4(1 + 2 +  + n ) − (n + 1) =
13 + 2 3 +  + n 3 =
4

( n + 1)

=

4

− n(n + 1)(2n + 1) − 2( n + 1)n − (n + 1)
4

(n + 1)(n

=

3

(n + 1)[(n + 1)3 − n(2n + 1) − 2n − 1] =

=

4

+ 3n + 3n + 1 − 2n − n − 2n − 1) (n + 1)( n + n ) n 2 (n + 1)
=
=
4
4
4
2

2

Así pues, 13 + 23 +  + n 3 =

3

n 2 (n + 1)
 n( n + 1) 
=

4
2


2

2

22

14.3. Calcula el área limitada por la curva y = x3 + 1, el eje horizontal y las rectas
x = 0 y x = 1. Toma en cada subintervalo como c i el extremo izquierdo.

Y

1
. Se calcula la
Se divide el intervalo [0, 1] en n subintervalos, cada uno de longitud
n
suma de las áreas de los rectángulos obtenidos tomando como base la longitud de
cada subintervalo y como altura la ordenada...