Tema 2

Algebra
I.T. Inform´atica de Gesti´on.
E.U. Polit´ecnica de Teruel

C. Hernanz P´erez
Curso 2006/07

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0.1.

Espacios vectoriales

Este tema lo dedicaremos a estudiar las propiedades de una de las estructuras m´as importantes en matem´aticas, los espacios vectoriales. Nos interesa
especialmente su estudio porque est´a muy relacionado con la estructura que
tienen las soluciones de los sistemasde ecuaciones lineales y porque facilita
mucho su b´
usqueda como veremos en los temas siguientes.
Definici´
on Llamaremos espacio vectorial real a un conjunto V, a cuyos
elementos llamaremos vectores, con dos operaciones: la suma de vectores
(operaci´on interna de V) y la multiplicaci´
on de un vector por un n´
umero real
(operaci´on externa sobre R) que tienen las siguientes propiedades:
a)(V,+) tiene estructura de grupo abeliano:
1. Conmutativa: u + v = v + u; ∀u, v ∈ V
2.- Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) ∀u, v, w ∈ V
−→
−→
3.- Elemento neutro, 0 : u+ 0 = u ∀u ∈ V
−→
4.- Elemento sim´etrico de u : (−u), ∀u : u + (−u) = 0
b) Conjuntamente + y . verifican:
5.- λ(v + w) = λ.v + λ.w, ∀λ ∈ R, ∀v, w ∈ V
6.- (λ + µ)v = λ.v + µ.v, ∀λ, µ ∈ R, ∀v, ∈ V
7.- (λ.µ).v = λ.(µ.v), ∀λ, µ ∈ R, ∀v ∈V
8.- 1. v = v, ∀v ∈ V
Nota.- En general la multiplicaci´on puede hacerse sobre cualquier cuerpo K
pero nosotros nos ce˜
niremos a los espacios vectoriales reales aunque por comodidad generalmente hablaremos de espacio vectorial dando por hecho que
trabajamos sobre los n´
umeros reales.
Ejemplos:
a) ( M(m×n), + , . ), Matrices de dimensi´on mxn con las operaciones
ya definidas en el Tema 1.
b)(P(n), + , . ) Polinomios de grado n con la suma y el producto usual.
c) ( Rn , + , . ) n-tuplas de n´
umeros reales con la suma y el producto usual.

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De estos ejemplos el m´as importante para nosotros es el u
´ltimo por lo que
todos los ejemplos y ejercicios que hagamos ser´an sobre este conjunto y m´as
concretamente sobre R2 , R3 yR4
Propiedades: En todos los espacios vectoriales se cumplenlas siguientes
propiedades:
−→
a) 0.v = 0
−→ −→
b) λ. 0 = 0
−→
−→
c) Siλ.v = 0 entonces λ = 0 o´ v = 0
d) (−1)v = −v
e) (−λ)v = λ(−v) = −(λv)
Dem.- Ejercicio
Definici´
on: Uno de los aspectos m´as interesantes de la estructura de espacio vectorial
es saber cuando un subconjunto S de un espacio vectorial V, es tambi´en espacio vectorial con las mismas operaciones que V.
Cuando esto sucede decimos queS es un subespacio vectorial de V.
(Ojo! diferenciar bien entres subconjunto y subespacio)

Propiedad: Esta definici´on es equivalente a exigir que S cumpla estas dos
condiciones:
a) ∀u, v ∈ S se tiene que u + v ∈ S
b) ∀u ∈ S, ∀λ ∈R se tiene queλu ∈ S.
Ejercicios Resueltos:
a) Es el subconjunto S ={(x, y)/x = y 2 } un subespacio de R2 ?
Sol.- Los vectores u = (4, 2) y v = (9, 3) pertenecen a S,sin embargo u + v = (13, 5) no pertenece a S ya que 13 = 52 por lo que S NO es
subespacio de R2
b) Es el subconjunto S ={(x, y)/x − y = 0} un subespacio de R2 ?
Sol.-

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Si tomamos varios vectores de S como por ejemplo (1, 1), ( 3, 3), (-4, -4)
vemos que las sumas entre ellos, ( 4, 4), ( -3, -3) , (-1, -1 ) tambi´en pertenecen
a S.
Tambi´en al multiplicar estos vectores por cualquier n´
umero elresultado
est´a en S,
P. ej.: 7 . ( 1,1) = (7, 7);
-5 . (4,4) = (-20 , -20).
A la vista de estos resultados podemos intuir que R SI es subespacio, pero
intuir no es suficiente, debemos demostrarlo:
Para ello tomemos dos vectores cualesquiera
u = (x, y) ,v = (x’ , y’ ) ∈ S que cumplir´an :
x−y =0
x −y =0
a) Sumando u + v = (x + x , y + y )
Se cumple que (x + x ) − (y + y ) = 0 ?
Veamos:
(x + x ) −(y + y ) = x − y + x − y = 0 − 0 = 0. Luego cumple la primera
condici´on.
b) Multiplicamos λu = (λx, λy).
Se cumple que λx − λy = λ(x − y) = λ . 0 = 0.
Luego hemos demostrado que siempre se cumplen las dos condiciones y
por lo tanto S SI es un subespacio vectorial de R2 .
Ejercicios Propuestos: Dados los siguientes subconjuntos de R2 :
a) S = { (x, y) / x. y = 0}
b) S = { (x,y) / x + y = 0 }
c)...