TEMA 4 TransformadaDeLaplace

Transformada de Laplace

CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Transformada de Laplace
f(t)

f(t) función temporal
f(t) = 0 para t < 0

t

∞

L[f ( t )] = F(s) = ∫ f ( t )e −st dt
0

s = σ + jω variable compleja de Laplace

si f(t) = g ( t )
L[f ( t )] = L[g ( t )]
F(s) = G (s)

Cambio de
variable t ⇒ s

CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Transformada deLaplace
•La Transformada de Laplace es un método operacional que
puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
•Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas
de una variable compleja s.
Si la ecuación algebraica se resuelve en s, se puede
encontrar la solución de la ecuación diferencial
(Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla de
transformadas, o bienmediante la técnica de expansión en
fracciones parciales.
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Transformada de Laplace
si f(t) = g ( t )
L[f ( t )] = L[g ( t )]
F(s) = G (s)

Cambio de
variable t ⇒ s

Resolución del problema en el dominio s X(s)
Interpretación y expresión de la solución en el
dominio t
x ( t ) = L−1 [X (s ) ] =

j∞

st
X
(
s
)
e
ds
∫

− j∞

Cambio de
variable s⇒ t

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Transformada de Laplace
Dominio temporal

Dominio de Laplace

PASO 1

Tomar £
(TABLA)

Ec.Dif.Ord.
Cond. Inic.

PASO 2

Resolver
Y(s)=N(s) / D(s)

PASO 3

Factorizar D(s)
PASO 4

Solución
y (t)

Descomponer en
fracciones simples

Tomar £-1
(TABLA)

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Propiedades de la T. Laplace (I)∞

L[f ( t )] = F(s) = ∫ f ( t )e −st dt
0

• Linealidad

L[af(t) + bg(t)] = aF(s) + bG(s)
• Diferenciación en el dominio del tiempo

 df(t) 
L
= sF(s) − f(0)

 dt 

 d2f(t) 
df(0)
2
0
L
=
−
−
s
F
(
s
)
sf
(
)
2 
dt
 dt 

• Integración en el dominio del tiempo

 F(s) f( −1) (0 + )
 t
L  f(t)dt =
−
s
s
 0


∫

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Propiedades dela T. Laplace (II)
• Desplazamiento en el tiempo

L [f(t- d)]= e sdF(s)
-

• Teorema del valor inicial

lim f(t) = lim sF(s)
t →0

s →∞

• Teorema del valor final

lim f(t) = lim sF(s)
t→∞

s→0

NOTA: Este teorema sólo es válido si “s F(s)” no tiene
polos sobre el eje imaginario o con parte real positiva.
Es válido solamente si, existe
lim
f (t )

•Teorema de convolución
∞

L  ∫ f(t)g ( t-τ)dτ = F(s)G (s)
0

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t →∞

Propiedades de la T. Laplace (III)
•Transformación de variables. Cambio de escala
L[f(t/α )] = αF(αs)

L[f(αt )] =

1

F(s/α )

α : Constante positiva

α
• Traslación en el campo complejo

L[f1 (t)] = F(s)

y

L[f2 (t)] = F(s ± α )

α : Constante
f2 (t) = e mαt f1 (t)
• Diferenciación en el campo complejo

dF(s)
L[tf(t)] =−
ds
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Propiedades I
∞

L[f ( t )] = F(s) = ∫ f ( t )e −st dt
0

L[af ( t ) + bg ( t )] = aF(s) + bG (s)
∞

∞

∞

L[af ( t ) + bg ( t )] = ∫ [af ( t ) + bg ( t )]e dt = a ∫ f ( t )e dt + b ∫ g ( t )e −st dt = aF(s) + bG (s)
−st

0

 df ( t ) 
L
= sF(s) − f (0)

dt



∫ u dv = uv − ∫ v du
∞

−st

0

0

∞

df ( t ) −st
 df ( t ) 
L
=
e dt∫

dt
dt

 0
df ( t )
dt u = e −st ⇒ v = f ( t ) du = −se −st dt
dv =
dt

[

df ( t ) −st
 df ( t ) 
−st
L
=
e
dt
=
e
f (t)
∫

 dt  0 dt

∞

∞

] + ∫ f (t )se
0

−st

dt = −f (0) + sF(s)

0

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Propiedades II
L[f ( t − d )] = e − sd F(s)
∞

L[f ( t − d )] = ∫ f ( t − d )e −st dt

t − d = τ t = 0 ⇒ τ = − d; t = ∞ ⇒ τ = ∞

∞

∞

∞

∞

0−d

0

0

0

−st
−s ( τ + d )
−sd −sτ
−sd
− sτ
−sd
f
(
t
−
d
)
e
dt
=
f
(
τ
)
e
d
τ
=
f
(
τ
)
e
e
d
τ
=
e
f
(
τ
)
e
d
τ
=
e
F(s)
∫
∫
∫
∫

∞

lim f ( t ) = lim sF(s)
t →∞

s→0

∞

d f ( t ) −st
e dt + f (0)
dt
0

sF(s) = ∫

∞

d f ( t ) −st
d f (t)
lim sF(s) = lim ∫
e dt + f (0) = ∫
dt + f (0) =
s →0
s →0
d
t
d
t
0
0
∞

= f ( t ) 0 + f ( 0) = f ( ∞ ) − f ( 0) + f ( 0) = f ( ∞ )
CIPQ...