Tema1 Teoria

Métodos Numéricos y Estadísticos
Grado en Ingeniería Informática
Universidad de León

TEMA 1
Interpolación polinómica y aplicaciones
TEORÍA
emmazn@unileon.es
Curso 2014-2015

Contenidos
1

2
3
4
5

6

Interpolación de Lagrange º º º º º
1.1 Definición º º º º º º º º º º
1.2 Propiedades º º º º º º º º º
1.3 Funciones dadas en forma de tabla
Interpolación segmentaria º º º º º
Curvas paramétricasº º º º º º º º
Interpolación de Lagrange paramétrica
Curvas cúbicas de Bézier º º º º º º
5.1 Definición º º º º º º º º º º
5.2 Propiedades º º º º º º º º º
Splines cúbicos (Opcional) º º º º º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

½

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

½

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

½

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

¾

º

º

ºº

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

¿

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

½¼

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

½½

Ì Ñ

1

½ ¹ Ì ÓÖ

½

Interpolación de Lagrange
Ò ØÓ

Ñ

Ð

Ò

x1 , . . . , xn

y1 ,. . . , yn

ÒØÖ × ÕÙ
Ð Ó

×


Ø ÚÓ

Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ò

Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ò

n

×
Ð
ÙÐ Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó

nÒ

Ò Ñ ÖÓ× Ö

P¸

Ñ ÖÓ× Ö

Ð ×

×Ø ÒØÓ×

Ð ×
Ù Ð ×ÕÙ

Ð Ñ ÒÓÖ

Ö

ÒØÖ

×

Ö º

Ó ÔÓ×

Ð ¸
ÙÑÔÐ

Ò Ó

P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn .

1.1 Definición
Æ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ¸ ÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ
ÔÐ

Ò Ó Ð ×
ÓÒ

Ð

Ð ×

Ù

ÓÒ ×

ÒØ

ÒÓ× ÔÐ ÒØ

ÒØ Ö ÓÖ × Ý¸

ÑÓ×

Ò Ø Ð
×Ó¸ ×

× ×

Ü ×Ø

×

ÒÓº Ä

ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó
Ùѹ
Ö ×ÔÙ ×Ø

Ò Ö Ð

Ø ÓÖ Ñ

Teorema 1 (Polinomio interpolador)

Ù Ð ÕÙ n − 1
ÙÑÔÐ Ò Ó

Ü ×Ø ÙÒ Ò
Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ó P

Ö Ó Ñ ÒÓÖ Ó

P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn .

Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó P Ö
ÔÐ Ñ ÒØ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó

Ð ÒÓÑ Ö
ÒØ ÖÔÓÐ

´Ó × Ñ¹
ÓÖµ Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn )º
ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÒØ ÖÔÓÐ

ÓÖ

Ä

Ö Ò

1.2 Propiedades
È Ö

Ð
ÙÐ Ö ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× ÒØÖÔÓÐ

× ×

Ò Ö ÑÓ×

Æ ÛØÓÒº

Definición 1 (Base de Newton)


Ò Ñ ÖÓ× Ö

Ð ×

ÓÖ × Ö ×ÙÐØ

ÄÐ Ñ Ö ÑÓ×

α 1 ¸ α2 ¸ . . . ¸ αk

×

Ø Ð Ù× Ö Ð ×

Æ ÛØÓÒ

×Ó

× × ÕÙ

ÙÒ

ÒÓÑ ¹

×
Ù Ò¹

Ð
ÓÒ ÙÒØÓ

1, x − α1 , (x − α1 )(x − α2 ), . . . , (x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αk ) .
Ù ÐÕÙ
ÙÒ

Ò

Ö ÔÓÐ ÒÓÑ Ó
×Ø

×

Ò Ð

P

Ö

Ó Ñ ÒÓÖ Ó

Ù Ð ÕÙ

k¸

ÔÙ

ÜÔÖ × Ö×

Ò

ÓÖÑ

P (x) = a0 + a1 (x − α1 ) + a2 (x − α1)(x − α2 ) + · · · + ak (x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αk ),
×

Ò Ó ÐÓ×
Ó



ÒØ ×

a0 , a1 , a2 , . . . , ak

Ò
Ó׺

Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÒØ ÖÔÓÐ ¹
Ò (x1 , y1)¸ (x2 , y2 )¸ . . . ¸ (xn , yn) × Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó P Ñ ÒÓÖ Ö Ó

Proposición 1 (Caracterización del polinomio interpolador)

ÓÖ Ä Ö Ò
ÙÑÔÐ Ò Ó

P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn .

¾

Ì Ñ

½ ¹ Ì ÓÖ

Ë P × Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÒØ ÖÔÓÐ ÓÖ
Ä Ö Ò
Ò nÔÙÒØÓ× (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn)º
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÔÙÒØÓ
ÓÒ Ð (xn+1 , yn+1) Ý ÐÐ Ñ ÑÓ× Q Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÒØ Ö¹
ÔÓÐ ÓÖ Ä Ö Ò
Ò ÐÓ× n + 1 ÔÙÒØÓ× (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn), (xn+1 , yn+1 )º
Ë
ÙÑÔÐ ÕÙ
Proposición 2 (Propiedad de permanencia)

Q(x) = P (x) + an (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ),

Ô Ö

Ø ÖÑ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð an º
Ò

Ð
ÓÒØ ÜØÓ

ÉÙ

Ð

ÔÖÓÔÓ×

P

ÓÒÓÞ
ÑÓ×

ÒÙÚÓ ÔÙÒØÓº

Ò

Ò

ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÙ

Q¸

Ý ÕÙ Ö ÑÓ×
Ð
ÙÐ Ö

×Ø

×Ó

an

×

Ò ÔÖ × ÒØ Ö×
×ØÓ

Ø ÖÑ Ò Ö

׸ ÕÙ

ÑÔÓÒ

Ó× × ØÙ
ÓÒ ×

ÕÙ Ö ÑÓ× Ò
ÐÙ Ö ÙÒ

Ò Ó Ð

ÓÒ



Ò

Q(xn+1 ) = yn+1.
ÉÙ

ÓÒÓÞ
ÑÓ×

ÔÙÒØÓº

an ¸

Ò

×Ø

×Ø

Q Ý ÕÙ

×Ó ÒÓ

ÒÓØ Ö ÕÙ

×

P¸

Ö ÑÓ×
Ð
ÙÐ Ö
× Ò
× Ö Ó Ò Ò
Ð
Ó



×

Ö¸ ÕÙ

Ò
Ð
ÙÐÓ

Q

ÒØ

Ô Ö

Ð

ÕÙ Ö ÑÓ×

Ü
ÐÙ Ö ÙÒ

ÓÒ Ð Ô Ö
xn º

Ø ÖÑ Ò Ö

ÔÓØ Ò

1.3Funciones dadas en forma de tabla
f :A⊂R→R

Ë
ÔÙÒØÓ×

A¸

×Ù
×ØÓ

×Ø
Ú ÐÙ
Ð

Ø

× ØÙ
Ò ÒÓ ×

ÙÒ

Ò ×
ÔÙ

Ò

f

Ú

ÔÖ × ÒØ
ÐÐ Ú Ö

Ó Ø Ò Ö ÙÒ

Ø ÖÑ Ò

Ò

ÔÓÖ Ð

ÔÓÖ


ÒÓ ×
Ø

x

f (x)

x1
x2

f (x1 )
f (x2 )

º
ºº

º
ºº

xn

f (xn )

ÑÔÐÓ Ô Ö
Ó

ÔÖÓÜ Ñ

Ñ Ò Ö
Ò

ÓÒÓ

Ð Ú ÐÓÖ

Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö

Ð ×

f Ò ØÓ Ó× ÐÓ×
x1 ¸ x2 ¸ . . . Ý xn

Ð

ÙÒ
ÓÒ ×
Ü
Ø

f (x)

Ó

Ô Ö

ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð × Ó
ÙÝ

×...