Tema1

Tema 1 – NOCIONES BÁSICAS DE ÁLGEBRA
1.1.- ÁLGEBRA MATRICIAL
1.1.1. Matriz. Tipos de matrices
1.1.2. Operaciones con matrices
1.1.3. Determinantes
1.1.4. Matriz Inversa
1.1.5. Cálculo matricial con Excel

1.2.- SISTEMAS DE ECUACIONES
1.2.1. Sistemas de ecuaciones lineales
1.2.2. Sistemas de ecuaciones no lineales

1.1. ÁLGEBRA MATRICIAL
1.1.1. MATRIZ. TIPOS DE MATRICES
Definición - Matriz
Unamatriz de orden mxn es una tabla A de números reales ordenados en m filas y n
 a11 a12 ... a1n  fila 1
columnas.


A=

a
 21


a
 m1

a22

...

am2

...

a2n 



amn 

fila m

columna 2

TIPOS DE MATRICES
Matriz cuadrada: m=n. Es decir nº columnas=nº filas
La diagonal principal de una matriz cuadrada son los elementos aii

Matriz nula: Matriz mxn cuyos elementos son todos 0
Matrizfila: Matriz 1xn
Matriz columna: Matriz mx1
Matriz diagonal: Matriz cuadrada A=(aij) con aij=0 para ij
Matriz identidad de orden n, In: Matriz diagonal nxn con todos los elementos de la diagonal
igual a 1.

A·In = In·A = A

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su traspuesta: A = At

1.1.2. OPERACIONES CON MATRICES
Suma: Si A=(aij) y B=(bij) son matrices mxn,entonces A+B=(aij+bij) y es una matriz mxn
Producto por un escalar: Si ℝ y A=(aij) es una matriz mxn entonces A=(aij) y es
una matriz mxn.
Producto de matrices: Si A=(aij) es mxn y B=(bij) es nxr, entonces C=AB es la matriz mxr
tal que cij=ai1b1j+…+ainbnj
NOTA: En general, A B ≠ B A
Trasposición: Si A=(aij) es una matriz mxn, entonces su traspuesta, At, es la matriz nxm
que resulta decambiar filas por columnas

1.1.3. DETERMINANTES
Toda matriz cuadrada A tiene asociado un número real llamado determinante, que se
representa por |A| o también por det(A) y que se obtiene de la siguiente manera:
Matrices 1x1:
|A| =|a11| = a11
Matrices 2x2:
a 11
|A| = a
21

a 12
a 22 = a11a22 – a12a21

Matrices 3x3: (Regla de Sarrus)
a11

|A| =

a12

a13

a 21 a 22
a 31 a 32

a 23
a 33

a11

a12

=a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 – a13a22a31 – a23a32a11 – a33a12a21

a13

|A| = a21 a22 a23
a31

a32

a33

a11 a12 a13
 a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23

Matrices nxn (n4): (Método de adjuntos)
Menor complementario del elemento aij es el determinante de la matriz de orden n-1
obtenida al eliminar la fila i y la columna j de A.
Aij Adjunto del elemento aij es el producto de (-1)i+jpor el menor complementario de aij .

Desarrollo de |A| por la fila i
|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin
Desarrollo de |A| por la columna j
|A| = a1jA1j + a2jA2j + … + anjAnj

Ejemplo
Calcula el determinante de la siguiente matriz por los elementos de la fila 2
1

2
A
1

3
1

0 2

0
1
1
0

2
1
1
0

3

2 
1

3

3

0 2 3
1 2 3
1 0 3
1 0 2
2 1 1 2
 2(1) 2 1 1  1 1  1(1)2  2  1  1 1  1(1) 2  3  1 1 1  (2)(1) 2  4  1 1  1 
1 1 1 1
0 0 3
3
0 3
3 0 3
3 0 0
3 0 0
3
 -12 - 6  6 - 12  - 24

Ejemplo
Calcula el determinante de la matriz anterior por los elementos de la columna 2
1
2

0 2 3
1 1 2

1 1 1
3 0 0

1 2 3
1 2 3
 1(1) 2  2  1  1 1  1(1)3 2 2 1  2  - 6 - 18  - 24
1
3
0 3
3 0
3
3

Propiedades de los determinantes:
Si una filao columna de A es de ceros, entonces el determinante vale 0.
Si dos filas o columnas son iguales (o proporcionales), entonces el
determinante vale 0.
Si intercambiamos dos filas (o columnas) el determinante de la matriz
obtenida es igual a -|A|.
Si a una fila (o columna) le sumamos otra multiplicada por un número, el
determinante de la matriz obtenida es igual a |A|.
Ejemplo
Calcula eldeterminante de la matriz

1

2
A
1

3

0
1

2
1

1
0

1
0

3

2 
1

3

A la fila 3 le sumamos la fila 2 multiplicada por -1

1
2

0 2 3
1 1 2

1 1 1
3 0 0

1
3



1
2

0
1

2
1

3 0 2
3 0 0

3
2

1 2 3
 1(1) 2  2  3  2 3  - 24
3
3
0 3
3

Desarrollando por los elementos de la columna 2

 -2

Ejemplo
1
Calcula el determinante de la siguiente matriz: A   3
2
0...