Tema2 IAM

Tema 2

Conjuntos Num´
ericos
´Indice del Tema
1

Propiedades algebraicas de los n´
umeros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2

Propiedades de orden de los n´
umeros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3

N´
umeros naturales, n´
umeros enteros y n´
umeros racionales. . . . . . . . . . . . .

20

4

Valor absoluto de un n´
umero real. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

22

5

Propiedad de completitud de los n´
umeros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

6

Conjuntos acotados: principio del supremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

7

La propiedad arquimediana y sus consecuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

8

Parte entera de un n´
umero real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

9

Potenciaci´
on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

10

Radicaci´
on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

11

Principio de los intervalos encajados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

12

Representaci´
on decimal de los n´
umeros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

13Igualdades y desigualdades notables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

14

Conjunto de los n´
umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

15

Las razones trigonom´
etricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

1

Propiedades algebraicas de los n´
umeros reales.

Antes de comenzar a enunciar los primeros axiomas hemos deaclarar algunas cuestiones. Ya que el
conjunto de los n´
umeros reales puede construirse a partir de la axiom´atica de la teor´ıa de conjuntos, las
proposiciones que ahora enunciamos pueden deducirse a partir de esa axiom´atica. No te extra˜
nes, por
tanto, que le llamemos propiedades al referirnos a esas proposiciones que para nosotros ser´an axiomas. Por
otra parte, supondremos conocido, al menosintuitivamente, el concepto de operaci´on en un conjunto. En
esta primera secci´on enunciaremos las propiedades algebraicas y m´as adelante enunciaremos las de orden y
la de completitud. Vamos a ello.

´
1. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NUMEROS
REALES.

14

AXIOMAS DE CUERPO CONMUTATIVO
Existe un conjunto, denotado por R y a cuyos elementos llamamos n´
umeros reales, en el que est´an definidasdos operaciones: una llamada suma y denotada por ”+” y otra llamada producto o multiplicaci´
on y
denotada por ”·”, tales que si a,b ∈ R, entonces la suma a + b ∈ R y el producto ab = a · b ∈ R y
verificando las siguientes propiedades:
Asociativas: a + (b + c) = (a + b) + c y a(bc) = (ab)c, si a, b, c ∈ R.
Conmutativas: a + b = b + a y ab = ba, si a, b ∈ R.
Elemento unidad: Existe un elemento,denotado por 1 y llamado uno, tal que 1 · a = a, si a ∈ R.
Elemento nulo: Existe un elemento, denotado por 0 y llamado cero, que es distinto de 1 y verifica
0 + a = a, si a ∈ R.
Opuesto: Para cada n´
umero a ∈ R existe otro n´
umero, denotado por −a y llamado el opuesto de a, tal
que a + (−a) = 0.
Inverso: Para cada n´
umero a ∈ R, a = 0, existe otro n´
umero, denotado por a−1 y llamado el inverso de−1
a, tal que a a = 1.
Distributiva: a(b + c) = ab + ac, si a, b, c ∈ R.
Al conjunto de los n´
umeros reales R se le llama cuerpo conmutativo por verificar las anteriores propiedades.
A continuaci´on recogemos otras propiedades que pueden deducirse de los axiomas:
´ n 1.1
Proposicio
(a) El n´
umero uno es el u
´nico que tiene la propiedad 1 · a = a, a ∈ R.
(b) El n´
umero cero es el u
´nico que tienela propiedad 0 + a = a, a ∈ R.
(c) Cada n´
umero real a ∈ R s´olo tiene un opuesto.
(d) Cada n´
umero real a ∈ R s´olo tiene un inverso.
´n
Demostracio
(a) Supongamos que otro n´
umero u verifica u · a = a, a ∈ R; en particular para a = 1, debe ser
u · 1 = 1. Por otro lado es 1 · u = u. Por la propiedad conmutativa es u · 1 = 1 · u, as´ı que de ambas
igualdades es u = 1.
Ejercicio II.1....