temario

Soluci´on num´erica de ecuaciones diferenciales
con condiciones de frontera
Ing. Jes´
us Javier Cort´es Rosas
M. en A. Miguel Eduardo Gonz´alez C´ardenas
M. en A. V´ıctor D. Pinilla Mor´an
Facultad de Ingenier´ıa, UNAM*
2006

Resumen
Introducci´
on. M´etodo de diferencias finitas. M´etodo del artillero. M´etodo del sistema de
ecuaciones. Conclusiones.

1.

Introducci´
on

Eldise˜
no de ecuaciones diferenciales con condiciones de frontera corresponde a fen´omenos f´ısicos en
los cuales se puede verificar el estado de la variable bajo estudio al principio y al final del per´ıodo
de medici´on. De tal forma, el modelo matem´atico que se desarrolle debe satisfacer las condiciones
en estos momentos.
Por lo general, estas ecuaciones diferenciales son de orden 2 o mayor,y aunque son susceptibles
de convertirse en sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, se ha desarrollado un nuevo
m´etodo tan vers´atil como los ya conocidos. El m´etodo se denomina Diferencias finitas y echa mano
de las ecuaciones de derivaci´on num´erica, como se detallar´a m´as adelante.

2.

M´
etodo de diferencias finitas

Toca el turno de la soluci´on de ecuacionesdiferenciales que deben cumplir con condiciones impuestas
en ciertos puntos [?], no s´olo en uno como ocurre con aquellas que tienen condiciones iniciales
(figura1).
Por lo general, estas ecuaciones diferenciales son de orden superior a uno. En lo particular se
har´a ´enfasis en la soluci´on de una ecuaci´on de orden dos de la forma:
Y = f (X, Y, Y )

a≤X≤b

Y (a) = α

Y (b) = β

(1)Su soluci´on se logra por la aplicaci´on secuencial en dos pasos:
*

Profesores de tiempo completo del Departamento de Matem´
aticas Aplicadas de la Divisi´
on de Ciencias B´
asicas

1

An´alisis num´erico

2

Figura 1: Ecuaci´on diferencial con condiciones de frontera

Primer paso: Aplicar el m´etodo de las diferencias finitas.
Segundo paso: Elegir entre aplicar el m´etodo delartillero 1 o establecer un sistema de ecuaciones lineales producto del pivoteo de la ecuaci´on de recurrencia. Como se detallar´a m´
as
adelante, el m´etodo del artillero es un m´etodo de tanteos, por lo cual debe tomarse con reservas; no obstante, existe una alternativa de soluci´on directa.
El m´etodo de diferencias finitas consiste en sustituir en la ecuaci´on diferencial a resolver lasf´ormulas
de derivaci´on num´ericas obtenidas a partir del polinomio interpolante de Newton-Gregory. Este
m´etodo se sujeta a las mismas reglas del polinomio interpolante, particularmente en lo relativo al
espaciamiento constante y al pivoteo.
El m´etodo consiste en, una vez sustituidas las ecuaciones de derivaci´on num´erica en la ecuaci´
on
diferencial, construir una ecuaci´on que sea pivoteadaen cada uno de los n puntos equiespaciados
dentro del intervalo [a, b].
De este pivoteo resultar´a un sistema de ecuaciones lineales cuya conformaci´on no ser´a siempre la
deseada, aunque de este asunto se encarga el m´etodo del artillero.
Como ejemplo de aplicaci´on del m´etodo se propone resolver la siguiente ecuaci´on diferencial:
Y − 2Y + 5 = 0

(2)

Con condiciones en la frontera Y(0) = 0 y Y (1) = 2.
Seg´
un lo solicita el m´etodo de diferencias finitas, deben utilizarse f´ormulas de derivaci´on num´erica
para sustituirlas en la ecuaci´on diferencial a resolver. Se sugiere que sean f´ormulas con el mismo
esquema de error y con el mismo punto pivote. Se proponen las siguientes:
1
[ −1 , 0 , 1 ] + er
(3)
2h
1
(4)
YX=X1 = 2 [ 1 , −2 , 1 ] + er
h
Ambas pivotean enel punto central y tienen un esquema de error de O(h2 ). Al sustituir en la
ecuaci´on 2 resulta:
YX=X1 =

1
[ Yi−1 − 2Yi + Yi+1 ] − (2) ·
h2
1

1
2h

Conocido tambi´en como del ’ca˜
nonazo’ o nombres similares

[ Yi−1 + Yi+1 ] + 5 = 0

(5)

An´alisis num´erico

3

De acuerdo a las condiciones de soluci´on planteadas, el intervalo de soluci´on es [0, 1]. Se propone
un...