Teorema_central_de_limite

Teorema del límite central

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Teorema del límite central
El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la
suma de n variablesaleatorias independientes, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una
distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, elteorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente
grande.[][1]

Definición
la función de densidad de la distribución normal definidacomo[]

Sea

con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad es

, a la distribución se le

conoce como normal estándar.
Se define Sn como la suma de n variables aleatorias,independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y
varianza σ2 finitas (σ2≠0):
de manera que, la media de Sn es n·µ y la varianza n·σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Contal de
hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a1. Así, las variables Zn
convergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia,
si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cadanúmero real z:

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

Enunciado formal
De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:[2]
Teorema del límitecentral: Sea

,

, ...,

un conjunto de variables aleatorias, independientes e
2

idénticamente distribuidas con media μ y varianza σ distinta de cero. Sea
Entonces
.
Es muy común encontrarlo con lavariable estandarizada Zn en función de la media muestral

,

puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no normalizadas como puede ser:[][3]
Teorema (del límite central): Sea

,

,...