Teorema De Arzela

Nuevas demostraciones del Teorema de Arzel´-Ascoli
a
Juli´n Haddad y Pablo Zadunaisky
a
Teorema 1 Sea X un espacio m´trico compacto, Y un espacio m´trico come
e
pleto, y sea A un subconjuntodel espacio m´trico C (X, Y ). Entonces A es
e
compacto si y s´lo si A es equicontinuo y A(x) es compacto para todo x ∈ X ,
o
en donde
A(x) := {f (x) : f ∈ A}.
La necesidad es f´cil; veamos lasuficiencia.
a
Demostraci´n 1:
o
Supongamos que existe ε > 0 y Q un subconjunto infinito de A tales que si
f, g ∈ Q con f = g entonces d∞ (f, g ) > ε. Esto permite definir una funci´n
o
ϕ : Q × Q → Xdada por ϕ(f, g ) = x, en donde x es cualquier elemento
tal que d(f (x), g (x)) > ε. Consideremos Q1 = Q, y elegimos cierta f1 ∈
Q1 . Inductivamente, supongamos que tenemos construido Qi unsubconjunto
infinito de Q y sea fi ∈ Qi . Como X es compacto, existe gn ∈ Qi − {fi } con
gn = gm para n = m y cierto xi ∈ X tales que ai := ϕ(fi , gn ) → xi .
n
Como A es uniformemente equicontinuo, existeδ > 0 independiente de
ε
xi tal que si d(x, xi ) < δ entonces d(f (x), f (xi )) < 4 para toda f ∈ A.
Adem´s, existe n0 tal que si n ≥ n0 entonces d(ai , xi ) < δ . Definimos
a
n
Qi+1 = {gn : n ≥n0 }, entonces Qi+1 es un subconjunto infinito de Qi .
Adem´s, dada gn ∈ Qi+1 se tiene que
a
d(fi (ai ), gn (ai )) > ε,
n
n
ε
d(fi (ai ), fi (xi )) < ,
n
4
ε
d(gn (ai ), gn (xi )) < .
n
4Luego,
d(fi (ai ), gn (ai )) ≤ d(fi (ai ), fi (xi )) + d(fi (xi ), gn (xi )) + d(gn (xi ), gn (ai )),
n
n
n
n
ε
y en consecuencia d(fi (xi ), gn (xi )) ≥ 2 . En particular, si j > i entonces
εfj = gn para alguna gn ∈ Qi+1 , y luego d(fi (xi ), fj (xi )) ≥ 2 .
Consideremos Pi = (xi , fi (xi )) ∈ B := x∈X {x} × A(x). Si d(xi , xj ) <
ε
δ se tiene que d(fi (xi ), fj (xj )) ≥ d(fj (xj ),fi (xj )) − d(fi (xj ), fi (xi )) > 4 .
ε
Luego d(Pi , Pj ) ≥ min{δ, 4 }, lo que prueba que B no es compacto. Es f´cil
a
comprobar que esto no puede ocurrir.

1

Demostraci´n 2:
o...