Teorema de Bolzano

Si f es una función continua a valores reales definida sobre el intervalo [a, b], y u es un número entre f(a)y f(b), entonces existe un c ∈ [a, b] tal que f(c) = u.
Como consecuenciadel teorema de Weierstrass, se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo.
Si X y Y son espacios topológicos, f : X → Y es continua, y X es conexo, entoncesf(X) es conexo.
Un subconjunto de R es conexo si y solo si es un intervalo.

Historia[editar · editar código]

El teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817.Cauchy da una demostración en 1821.1 Ambos perseguían el fin de formalizar el análisis de funciones y el trabajo de Lagrange. La idea de que las funciones continuas poseen la propiedaddel valor intermedio es de larga data. Simon Stevin probó el teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución: elalgoritmo subdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo que produce un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración.2 Antes de que la definición formal de continuidadexistiera, la propiedad del valor intermedio era dada como parte de la definición de función continua. Otros autores asumían que el resultado es intuitivamente obvio, por lo que no requierede prueba. La visión de Bolzano y Cauchy fue la de definir una noción general de continuidad (en términos de infinitesimales en el caso de Cauchy, utilizando desigualdades reales en elcaso de Bolzano), y la de proveer una prueba basada en tales definiciones.
El recíproco del teorema es falso. No es necesario que una función sea continua para que la conclusión delteorema de los valores intermedios sea cierta. En 1875, Darboux demuestra que las funciones que provienen de una derivada, sean continuas o no, poseen la propiedad de los valores intermedios