TEOREMA DE BOLZANO

TEOREMA DE BOLZANO Y MÉTODO DE LA BISECCIÓN PARA LOCALIZAR LAS RAICES DE UNA FUNCIÓN
1. ENUNCIADO DEL TEOREMA
Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c Î (a, b) para el que se cumple: f(c) = 0.
Es decir: si una función es continua en unintervalo cerrado y acotado [a, b], y los valores en los extremos del intervalo tienen signos distintos, entonces podemos asegurar la existencia de al menos una raiz de la función en el intervalo abierto (a, b).
Ejemplo1: La función que aparece representada a continuación es continua en el intervalo [3, 6.2] y f(3) < 0 mientras que f(6.2) >0. Como se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzanoqueda garantizada la existencia de al menos un valor c en el que f(c) = 0, es decir en el que la gráfica corta al eje de abcisas. En este ejemplo concreto existen exactamente tres valores (c1, c2 y c3) que cumplen la tesis del teorema. (A los valores c1, c2 y c3 se les llama raices o ceros de la función f(x) en el intervalo en cuestión). (La función representada es: f(x) = sen(2x) - 2cos(x/3))
  
2. MÉTODO DE LA BISECCIÓN
El teorema de Bolzano tiene una interesante aplicación en la localización de las raices o ceros de una funcion continua. Consiste en lo siguiente: buscamos por tanteo dos valores "a" y "b" para los que la función tome signos opuestos. Si conseguimos encontrar dos valores que cumplan la condición anterior, por ejemplo f(a) < 0 y f(b) > 0, y, además, la función escontinua en I = [a, b], queda garantizada por el teorema de Bolzano la existencia en el intervalo (a, b) de al menos una raiz. Si ahora tomamos el punto medio del intervalo (x = (a + b)/2) la función en ese punto puede tomar el valor 0, en cuyo caso ya tendríamos localizada una raiz, o bien en (a + b)/2 toma un valor positivo o negativo. Si f((a + b)/2) < 0, nos fijaríamos ahora en el intervalo I1 =[(a + b)/2, b] en el que la función es continua y en cuyos extremos toma valores de signos opuestos. El teorema de Bolzano garantiza así la existencia de al menos una raiz en ese intervalo I1 de longitud la mitad de la longitud del intervalo inicial. (Si f((a + b)/2)>0 I1=[a, (a +b)/2]. Se repite el mismo proceso con el intervalo I1, con lo que vamos obteniendo intervalos cada vez más pequeños,dentro de los cuales sabemos que existe una raiz. Podemos así hallar el valor de esa raiz con la aproximación deseada.
El applet que aparece a continuación permite elegir entre dos funciones continuas y comenzar con el intervalo de partida que deseemos (para visualizar el applet necesitas un navegador moderno: al menos Netscape 4.5 o Explorer 5.0). Pulsando el botón "Continuar" el applet aplica elprocedimiento de la bisección y muestra el siguiente intervalo dentro del cual se encuentra una raíz. Hay que tener cuidado y elegir un intervalo inicial en cuyos extremos la función tome valores de signos opuestos.
3. MÉTODO DE LA BISECCIÓN CON DERIVE
Vamos a mostrar aquí una forma de hallar las raices de una función con "Derive" utilizando el procedimiento descrito en la sección anterior. Elprocedimiento se conoce con el nombre de "bisección". El código de un programa que permite hallar las raices pertenecientes a un intervalo en cuyos extremos la función f(x) toma valores de signos opuestos y en el que la función es continua es el siguiente:
# 1. F(x) :=
# 2. [a, (a + b)/2, b, f(a), f((a + b)/2), f(b)]
# 3. nuevo_a := IF(v4 ·v5 > 0, v2 , v1 )
# 4. nuevo_b:= IF(v5.v6 >0, v2, v3)# 5. [nuevo_a, (nuevo_a + nuevo_b)/2, nuevo_b, f(nuevo_a), f((nuevo_a + nuevo_b)/2), f(nuevo_b)]
#6. bolzano(a, b, k):= Iterates(#5, v, #2, k)
Introducidas las seis sentencias anteriores, basta explicar al programa quién es f(x), por ejemplo: #7. f(x) := 3x2- 0.5, y, a continuación, indicarle a "Derive" cuántas veces deseamos aplicar el procedimiento de bisección a partir de un intervalo...