Teorema de hemlholtz

Semana 2 - Clase 5

24/03/09

Tema 1: Algebra Vectorial

Teoremas Integrales 1. Teorema de la Divergencia o de Gauss

Sea V = V(xj ) un campo vectorial definido sobre un volumen V cuya frontera es la ˆ superficie Σ y n el vector normal unitario externo a Σ. Entonces, el Teorema1 de Gauss dice que: · V(xj )dV =
V Σ

V(xj ) · ds .

(1)

El teorema de la divergencia establece larelaci´n entre la integral de volumen de V(xj ) o y la integral de superficie del campo sobre la frontera que encierra al volumen V. A partir del teorema de la divergencia es posible establecer una expresi´n para la divero j gencia de un campo vectorial V(x ) en la que no intervienen las componentes del campo, esto es: V(xj ) · ds (2) · V(xj ) = R l´ ım Σ dV dV →0 donde V = dV es un volumen centrado en r.Es usual interpretar a la integral V(xj ) · ds
Σ

como el flujo del campo vectorial V(xj ) a trav´s de la superficie Σ. Por ejemplo, si V(xj ) e representa el vector densidad de corriente el´ctrica, o de masa, estacionaria entonces de la e ecuaci´n (2) se desprende que se puede interpretar a · V(xj ) como el cambio neto en la o carga, o masa, por unidad de volumen y de tiempo en el punto r. Apartir de Teorema de la Divergencia se obtienen dos relaciones importantes conocidas coma las identidades de Green, de amplio uso en la f´ ısica. Sean φ(xj ) y ψ(xj ) dos campos escalares, entonces · (φ ψ) = ∂ ∂xi φ ∂ψ ∂xi = ∂φ ∂ψ ∂ 2ψ +φ i i = ∂xi ∂xi ∂x ∂x φ· ψ+φ
2

ψ

(3)

y por el Teorema de la Divergencia: · (φ ψ) dV =
V
1

φ ψ · ds
Σ

(4)

La demostraci´n de este teorema puedeverse en T.M. Apostol, Calculus, Vol 2. o

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜

1

Universidad de Los Andes, M´rida e

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Tema 1: Algebra Vectorial

por lo tanto φ ψ · ds =
Σ V

φ·

ψ dV +
V

φ

2

ψ dV

(5)

Si se intercambian φ ↔ ψ en la ecuaci´n (3) y al resultado le restamos (3) se obtiene o · (φ ψ − ψ φ) = φ y nuevamente, por elTeorema de la Divergencia · (φ ψ − ψ φ) dV =
V V 2

ψ−ψ

2

φ

φ

2

ψ−ψ

2

φ dV =
Σ

φ

2

ψ−ψ

2

φ · ds

por lo tanto φ
V 2

ψ−ψ

2

φ dV =
Σ

(φ ψ − ψ φ) · ds .

2.

Teorema de Stokes

Este teorema2 expresa la relaci´n que hay entre la integral sobre una superficie regular Σ o del rotor de un campo vectorial V(xj ) y la integral de linea de dicho camposobre la curva Γ frontera de Σ, donde la integral de camino indica que Γ es una curva cerrada. La curva Γ debe ser recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj. Sea Σ una superficie regular, parametrizada (Σ = r(u, v)) por un par de par´metros u y a v que var´ en una regi´n T . Esta regi´n es la proyecci´n de Σ sobre el plano u − v y cuyo ıan o o o borde es una curva regular C. Sea Γ laimagen de C dada por r(u, v) y V(xj ) un campo vectorial con componentes derivables. Entonces: × V(xj ) · ds =
Σ Γ

V(xj ) · dr

(6)

Una definici´n alternativa para el rotor de un campo vectorial a partir de las integrales o de volumen es: ds × V(xj ) j Σ × V(x ) = R l´ ım dV dV →0 Ejercicio: Demuestre que
Γ

√ V(xj ) · dr = πa2 3 ,

con V = yi + zj + xk y Γ la curva intersecci´n de laesfera: x2 + y 2 + z 2 = a2 y el plano: o x + y + z = 0.
2

La demostraci´n del teorema puede verse en T.M. Apostol, Calculus, Vol 2. o

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜

2

Universidad de Los Andes, M´rida e

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Tema 1: Algebra Vectorial

3.

Teorema de Helmholtz

En esta secci´n desarrollaremos dos teoremas que involucran la divergencia y elrotor de o un campo vectorial. Teorema 1 Un campo vectorial viene un´ ıvocamente especificado al dar su divergencia y su rotor en una cierta regi´n y su componente normal sobre la frontera de dicha regi´n o o La demostraci´n es f´cil, involucra algunos teoremas e identidades desarrollados en las o a secciones anteriores. Sea V(xj ) un campo vectorial del cual se conocen su divergencia y su rotor:...