Teorema de integrales

Cap´ ıtulo 4

Propiedades de la integral
En este cap´ ıtulo estudiaremos las propiedades elementales de la integral. En su mayor´ resultar´n familiares, pues las propiedades de la integral en ıa a R se extienden sin dificultad al caso de funciones de varias variables. Teorema 4.1 Sean A un subconjunto acotado de Rn , f, g : A −→ R funciones integrables, c ∈ R. Entonces: (i) f + g es integrable,y (ii) cf es integrable, y (iii) |f | es integrable, y | (iv) Si f ≤ g, entonces
A (f

+ g) =
A f. A |f |. A g.

Af

+

A g.

A cf

=c ≤

A f| Af

≤

(v) Si A tiene volumen, y |f | ≤ M , entonces |

A f|

≤ M v(A).

(vi) Si f es continua, A tiene volumen y es compacto y conexo, entonces existe x0 ∈ A tal que A f (x)dx = f (x0 )v(A). (vii) Sean A, B conjuntos acotados deRn , y sea f : A ∪ B −→ R. Supongamos que y que las restricciones de f a A, B y A ∩ B (que denotamos por f|A , etc) son integrables. Entonces f es integrable, y A∪B f = A f + B f − A∩B f . (viii) Sean A, B conjuntos acotados de Rn , y sea f : A ∪ B −→ R. Supongamos que f es integrable en A ∪ B, y que tanto A como B tienen volumen. Entonces las restricciones de f a A, B y A ∩ B son integrables, yA∪B f = A f + B f − A∩B f . 37

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CAP´ ITULO 4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL En particular, en cualquiera de los casos (vii) u (viii) anteriores, si A ∩ B tiene medida cero, entonces A∪B f = A f + B f .

Las propiedades (i) y (ii) nos dicen que el conjunto de las funciones integrables sobre un conjunto dado es un espacio vectorial, y que la integral, definida sobre este espacio vectorial (dedimensi´n infinita), es un operador o lineal. Por otra parte, la propiedad (vi) se conoce como teorema del valor medio integral. Demostraci´n: o (i) Sea S un rect´ngulo que contenga a A, y extendamos f y g a S haci´ndolas a e cero fuera de A, como es habitual. Sea ε > 0. Por el teorema de Darboux 1.10, existe δ1 > 0 tal que, si P1 es cualquier partici´n de S en subrect´nguo a los S1 , ..., SN cuyoslados tienen longitud menor o igual que δ1 , y x1 ∈ S1 , ..., xN ∈ SN , entonces
N

|
i=1

f (xi )v(Si ) −

ε f| ≤ . 2 A

An´logamente, existe δ2 > 0 tal que, si P2 es cualquier partici´n de S en a o subrect´ngulos R1 , ..., RM cuyos lados tienen longitud menor o igual que δ2 , a y z1 ∈ R1 , ..., zM ∈ RM , entonces
M

|
i=1

f (zi )v(Ri ) −

ε g| ≤ . 2 A

Sea δ = m´ 1 , δ2 },entonces, para toda partici´n de S en subrect´ngulos ın{δ o a T1 , ..., TK de lados menores que δ, y para cualesquiera x1 ∈ T1 , ..., xK ∈ TK , se tiene que
K

|
i=1 K

(f (xi ) + g(xi ))v(Ti ) −
A K

f−
A

g| ≤ ε ε + = ε. 2 2

|
i=1

f (xi )v(Ti ) −
A

f| + |
i=1

g(xi )v(Ti ) −
A

g| ≤

Teniendo en cuenta otra vez el teorema de Darboux otra vez, esto significa que f + ges integrable en A, y A (f + g) = A f + A g. (ii) Podemos suponer c = 0 (la conclusi´n es evidente si c = 0). Sea ε > 0. o Sea S un rect´ngulo que contenga a A, y extendamos f a S poniendo f = 0 a fuera de A. Como f es integrable, por el teorema de Darboux existe δ > 0

39 tal que si P es una partici´n de S en subrect´ngulos S1 , ..., SN de lados o a menores o iguales que δ, y x1 ∈ S1 , ..., xN∈ SN , entonces
N

|
i=1

f (xi )v(Si ) −
A

f| ≤

ε , |c|

lo que implica que
N

|
i=1

cf (xi )v(Si ) − c
A

f | ≤ ε.
A cf

Por el teorema de Darboux, esto prueba que cf es integrable en A, y c A f.

=

(iv) Sea S un rect´ngulo que contiene a A, y extendamos f y g a S por 0 en a S \ A como es habitual. Para toda partici´n P de S, como f ≤ g tenemos o que L(g − f, P) ≥ 0, luego sup{L(g − f, P ) : P partici´n de S} ≥ 0 o es decir,
A (g

− f ) ≥ 0, y aplicando (i) y (ii) se obtiene

Af

≤

A g.

(iii) Como |f | es continua en todos los puntos que f lo es, tenemos que Disc(|f |) ⊆Disc(f ), y como este ultimo conjunto tiene medida cero (por ´ ser f integrable y por el teorema de Lebesgue), resulta que el conjunto de discontinuidades de |f |,...