teorema de la funcion implicita

INTRODUCCION

Las funciones, han sido utilizadas en la matemática mucho antes de que nosotros estuviésemos aquí. El uso de las funciones es algo básico en las matemáticas, y por eso en esta investigación se analiza y estudia a las funciones. Pero en este especifico caso, nos fijaremos en las funciones inversas que proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación sea invertiblelocalmente en un entorno de un punto p en términos de su derivada en dicho punto, que son también tan básicas como las funciones normales y en El Teorema de la Función Implícita se basa en las propiedades de los sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones: cuando un sistema de m ecuaciones con n+m incógnitas es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones y se dice que el conjunto desoluciones está definido implícitamente por el sistema de ecuaciones.






Teorema de la función implícita
En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de varias variables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.
Una función y(x) está dada de formaimplícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de entre las variables x e y:

Es decir, el teoremaestablece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.
Ejemplos
Antes de enunciar el teorema, considere la función que definiremos:


La función admite como preimagenes todos los vectores que resuelven la ecuación . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no esposible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos no globalmente pero si en un entorno de .
Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:

Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto se cumple automáticamente que:

El enunciado general es como sigue:Teorema (de la Función Implícita)
Sean una función continuamente diferenciable y cualquier vector tal que . Considere y defina la matriz jacobiana y sobre esta considere que la submatriz que define es invertible. Entonces existen los abiertos y con y tales que para cada existe un único tal que y lo que define una función que es continua y diferenciable y que además satisface

ademásdonde .
Diferenciación de funciones dadas de forma implícita
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función , implícita, si queremos calcular laderivada de y respecto de x: .
Si consideramos es una función en términos de la variable independiente x y es una función en términos de la variable dependiente y, dado que , entonces para obtener la derivada:


EJEMPLO:
Obtener la derivada de:

El término Se puede considerar que son dos funciones, y por lo que se derivara como un producto:

El término se deriva como:

Eltérmino se deriva de forma normal como:

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

Para el término se puede considerar como un producto y se deriva como:

Al unir todos los términos se obtiene:

Ordenando

Factorizando respecto a ( ) los valores son:

Finalmente despejando se obtiene la derivada de...