Teorema De Muestreo

Páginas: 6 (1257 palabras) Publicado: 4 de agosto de 2011
aliasing
Considere un sistema de audio digital y un tono de onda sinusoidal en constante aumento. En menor frecuencia, el tono se muestra con muchos puntos por ciclo. A medida que el tono se eleva en la frecuencia de los ciclos de conseguir puntos más cortos y menos disponibles para describirlo. En la mitad de la frecuencia de muestreo, sólo dos muestras están disponibles en cada ciclo. Estamosen el límite establecido por Nyquist. Sin embargo, las dos muestras son suficientes para reconstruir la señal original. Si el tono sigue subiendo, el número de puntos por cada ciclo se convierte en inadecuado para representar la señal. Esas muestras serán mal interpretadas por el convertidor de digital a analógico y se asocia con una frecuencia errónea. Este fenómeno se conoce como aliasing.
Conel fin de evitar el aliasing, todo el contenido de la señal por encima de la mitad de la frecuencia de muestreo debe ser removido antes de la toma de muestras (es decir, el filtro anti-aliasing).
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Teorema del muestreo (Teorema de Nyquist-Shannon)

Hablamos de muestreo periódico de una señal analógicacuando tomamos mediciones de la misma a intervalos iguales. Por ejemplo cuando se graba una señal de audio a la PC mediante una placa de sonido, el conversor A/D de la PC estará digitalizando la señal a una cierta frecuencia tal como 11, 22, ó 44 kHz, denominada frecuencia de muestreo.
Es evidente que si la frecuencia de muestreo es muy baja, es decir mediciones demasiado espaciadas, se perderán“detalles” de la señal original. Mediante una simple demostración gráfica se puede ver. En las figuras A-B-C-D hemos representado cuatros señales distintas (en línea azul) muestreadas periódicamente a igual frecuencia (los círculos rojos denotan las “muestras”). En A y B las señales aparecen correctamente representadas por las muestras, en C la velocidad de muestreo parece insuficiente, y en D lasmuestras representan una señal como la de B, es decir la señal de D es un “alias” de la señal de B. Este efecto se denomina en inglés “aliasing”.

El Teorema del Muestreo, o Teorema de Nyquist-Shannon, establece que la frecuencia mínima de muestreo necesaria para evitar el “aliasing” debe ser.

fm>2.BW

con fm: frecuencia de muestreo, BW: ancho de banda de la señal a muestrear (BW=fmax-fmin)Para señales con fmin = 0, se puede expresar como

fm>2.fmax

Para demostrar este teorema debemos aplicar conceptos básicos de series de Fourier y trigonometría.

onceptos básicos de series de fourier:

Una función s(t) periódica en el tiempo, con período T, puede ser representada por una sumatoria de funciones senoidales del tipo
s(t)=c0+c1.cos(2.π.f.t+φ1)+ c2.cos(2.π.2.f.t+φ2)+c3.cos(2.π.3.f.t+φ3)+...+ cn.cos(2.π.n.f.t+φn)
=Σck.cos(2.π.k.f.t+φk) (k=0...n) [Ec. 1]
es decir una serie de componentes cosenoidales de amplitud ck, fase φk y frecuencia fk=k.f múltiplo de la frecuencia fundamental f=1/T (la de la función representada). Es la conocida serie de Fourier.

La representación de estas amplitudes ck sobre un diagrama Amplitud vs frecuencia es lo que denominamosdiagrama espectral o espectro de frecuencia de la señal. La componente c0 es la componente de frecuencia 0 (componente de continua).
Podemos hablar así de una función S(f), con dominio 0, f, 2f, 3f...nf e imagen c0, c1, c2, c3... cn.

La señal analógica (que queremos muestrear) en caso de ser periódica tendrá un espectro que será una suma de componentes senoidales de frecuencias espaciadas aintervalos f=1/T o una integral de componentes senoidales de frecuencias infinitamente próximas entre sí

Por ejemplo el espectro de amplitud de una señal s(t) cuadrada sigue una ley S(f)=1/f (pero con las componentes pares c2, c4, c6... nulas)

Este espectro es teóricamente infinito (ancho de banda infinito). Las señales reales ocupan un ancho de banda finito. Por ejemplo una señal de...
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