Teorema De Van Pol

Trabajo final: El oscilador de van del Pol

 
Implementación 
Para implementar al oscilador de Van der Pol lo representamos por el siguiente sistema de ecuacionesy el siguiente diagrama de bloques.
 

 

 
Soluciones implementadas:
A la ecuación diferencial que rige la evolución del sistema

le hacemos el cambio devariables y(t)=x(rt)/a
para lograr que el periodo y la amplitud de las oscilaciones permita generarlas con el DSP (es decir que estén entre –1 y 1) y observarlas en elosciloscopio (es decir que su frecuencia sea mayor de 15 Hz.).
Obtenemos
 

  
Y estas son las ecuaciones utilizadas para generar la oscilación.
 
 
 Simulacionesen Matlab
 
Fs = 48000; % Frecuencia de muestreo.
B = 0.1;
r = 128;
a = 512;
N = floor(30*Fs/r);
t = [0:N-1] * (1/Fs);
A = -r^2/(2*Fs);
B = b*r/(2*Fs);
C= -b*r*a^2/(2*Fs);
D = 1/(2*Fs);
X1 = zeros(N,1);
X2 = zeros(N,1);
X3 = zeros(N,1);
X1(1) = 0.01 /a;
X2(1) = 0.0002*r/a;
X3(1) = A * X1(1) + B * X2(1) + C *X1(1)^2 * X2(1);
for i = [2:N]
X3(i) = A * X1(i-1) + B * X2(i-1) + C * X1(i-1)^2 * X2(i-1);
X2(i) = X2(i-1) + X3(i) + X3(i-1);
X1(i) = X1(i-1) + D * X2(i-1) + D *X2(i);
end;
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(t,X2,'b',t,X1*r,'r');
title('Evolución de los estados: x1:Rojo x2:Azul');
xlabel('t (s)');
ylabel('Magnitud');
grid on;figure(2);
plot(X1*r,X2,'b');
title('Plano de Fase');
xlabel('x1');
ylabel('x2');
grid on;
 Ejemplos
b=1
Condición inicial, x1= 3,x2=0.99

Estados delsistema,x1 y x2

 

Plano de fase

b=0.5
 Condición inicial x1=0.01, x2=0.2
Plano de fase
 

b=0.1 
Condicion inicial :x1= 0.01,x2=0.0002
 

 Plano de fase