Teorema Del Determinante Simetrico

Pruebas de bondad de a juste



Las pruebas de bondad de ajuste tienen por objetivo determinar si los datos se ajustan a una de- terminada distribuci´on, esta distribuci´on puede estar completamente especificada (hip´otesis simple) o perteneciente a una clase param´etrica (hip´otesis compuesta).

• Test χ2 Estan disen˜ados para variables aleatorias discretas con unnu´mero finito de valores, si esto no ocurriese los valores de la variable se agrupan en un nu´mero finito de clases.
1. Hipotesis nula simple H0 : X ≡ F0
Dada una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria X que toma valores en las clases
C1 , . . . , Ck ,sea Oi = no de individuos de la muestra en la clase Ci y sea pi = P (X ∈ Ci ).
Con estaformulacion lo que se contrasta es

H0 : pi = PF (X ∈ Ci ) = p0∀i

y se puede hacer por dos procedimientos: mediante el estad´ıstico de la raz´on de verosimi- litudes o mediante el estad´ıstico de Pearson.
Ambos procedimientos se basan en la comparaci´on de la frecuencia observada en cada clase Oi con la frecuencia esperada bajo lahip´otesis nula Ei = np0 = no de individuos esperados en la clase Ci , bajo H0; si esta fuese cierta no deber´ıan presentarse grandes discrepancias.


El test de la razon de verosimilitudes se basa en la verosimilitud de los datos agrupados
es L(O1, . . . , Ok , −→p ) = h Qk
pOi que alcanza su m´aximo cuando pi = Oi /n y si la hip´otesis
i=1 ib
nula fuese cierta la verosimilitud de los datos ser´ıa L(O1, . . . , Ok , −→po ) = h Qk
(p0)Oi de
donde el estad´ıstico de la raz´on de verosimilitudes es Λ(O1, . . . , Ok ) = Qk
µ 0
i
Oi /n
¶Oi
, y
se obtiene el siguiente estad´ıstico

k Oi
G = −2 ln Λ = 2 X Oiln
i=1

que como se observa se basa en la comparaci´on por cociente de las frecuencias observadas y esperadas de cada clase.
En base a este estad´ıstico se define la regi´on cr´ıtica RC = {G > c} y para determinar
c se utiliza la distribuci´on asint´otica de G = −2 ln Λ que es χ2
, los grados de libertadcorresponden al nu´mero de pi que es necesario estimar.
La aplicaci´on de este procedimiento requiere muestras de taman˜o grande para poder utilizar la aproximacion asintotica, es reconocido el criterio de que Ei ≥ 5 en al menos un 80% de las clases admiti´endose que en lo sumo un 20% de las clase se tenga 1.5 ≤ Ei ≤ 5.


El test de Pearson se basa en lacomparaci´on por diferencia e las frecuencias observadas y esperadas de cada clase a partir del estad´ıstico

D = X (Oi − Ei )
Ei
i=1
En base a este estad´ıstico se define la regi´on cr´ıtica RC = {D > c} y para determinar c se
utiliza la distribuci´onasintotica de D que es 2
k−1
, al igual que en el caso anterior.
Puede comprobarse que los dos estad´ısticos utilizados son asint´oticamente equivalentes y ambos utilizan el mismo criterio para la aproximaci´on asint´otica.
2. Hipotesis nula compuesta H0 : X ≡ Fθ , θ ∈ Θ ∈ Rq
En este caso para aplicar cualquiera de los dos procedimientos anteriores necesito la es-timacion m´aximo veros´ımil del par´ametro con los datos agrupados θb para luego calcular Ebi = nPi (θb), se construyen entonces los estad´ısticos :

k
G = −2 ln Λ = 2 X Oi ln
i=1
Oi
Ebi

D = X (Oi − Ebi )
i=1
Ebi
cuya distribuci´on asintotica, bajo condiciones de regularidad y si es cierto la hip´otesis nula,...