Teorema espestral para proyectar espacios en otros espacios

Teorema Espectral Una aplicación más de los operadores es el conocer cómo podemos descomponer (proyectar) un operador normal. Se puede descomponer un operador normal T expresándolo como unacombinación lineal de ciertos operadores conocidos como proyecciones ortogonales. Para tal efecto es necesario contar con algunos conceptos que nos ayuden a comprender a lo que conocemos como Teorema Espectral.El primer concepto a considerar es el concepto de proyección. Veremos ahora como se puede “descomponer” un operador normal T, expresándolo como combinación lineal de ciertos operadores conocidos comoproyecciones ortogonales. Introduciremos algunos conceptos y resultados que son necesarios, empezando con el de proyección. Definición Sea V un espacio vectorial y sea subespacio de V tal que: V= y =+ , donde y V definido por © un subespacio de V. Si existe un

Entonces el operador P: V P(v) para todo V

Se llama la proyección sobre

a lo largo de

Cabe hacer notar que para estadefinición al subespacio fijo puede existir más de un subespacio , de tal forma que el término “a lo largo” proporciona al operador P la unicidad requerida así pues para la interpretación geométrica que acontinuación se presenta.

Se puede interpretar geométricamente como la proyección vectorial de un subespacio V sobre otro subespacio . Teorema Sea V un espacio vectorial y sea y operador P: V → V esla proyección de cumpliría lo siguiente: P(v)= N(t)= Recorrido Nucleo mientras dos subespacio de V. Si el a lo largo de entonces se

Cabe hacer notar que el recorrido de P será el subespacio que elnúcleo estará representado por el subespacio .

Un caso especial con respecto a las proyecciones se tiene cuando el subespacio es el complemento ortogonal de . En este caso la proyección recibe elnombre de proyección ortogonal o simplemente proyección. Definición Sea V un espacio vectorial con producto interno, W un subespacio de Vy el complemento ortogonal de w. Si = + ´ donde wy ´ . Por lo...