Teorema Fundamental Del Lgebra

Teorema fundamental del álgebra

Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una variable no constante con coeficientes
complejos tiene una raíz compleja, es decir, existe un número complejo que evaluado en el polinomio da cero. Este
incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier número real es un número complejo con parteimaginaria
igual a cero.
Aunque ésta en principio parece ser una declaración débil, implica todo polinomio de grado n de una variable no
constante con coeficientes complejos n tiene, contando con las multiplicidades, exactamente n raíces. La
equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.
Hay muchas demostraciones de este importanteresultado, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para
formalizarlas. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un
teorema del análisis matemático que del álgebra.

Historia
Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608), escribió que una ecuación
polinómica de grado (con coeficientes reales) puede tenersoluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention
nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado tiene soluciones, pero no
menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo
que la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a
cero. Sin embargo,cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la
aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación

a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2):

Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario.
Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue delteorema fundamental del álgebra que todo polinomio con
coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes
reales del cual sus grados son 1 ó 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo
(con a real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación
concerniente alpolinomio
, pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía
que su polinomio pasaba a ser igual a:
con α igual a raíz cuadrada de 4 + 2√7. Igualmente mencionó que:

El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su demostración tenía un fallo,
en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux)que
no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y
Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema.
A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero
ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando
el teoremafundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de
demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original.

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Teorema fundamental del álgebra

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El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course
d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La pruebaes la debida a Argand, pero sin embargo en el texto no
se le da crédito.
Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas. Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados
del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En
1891 publica una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este...