Teoremario Algebra Lineal

´
Algebra
Lineal (ICM-00604): Juego de Notas

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Campos

Definici´
on 1.1. Un campo F es un conjunto F equipado con las operaciones (i.e., funciones) suma
+ : F2 → F y multiplicaci´
on · : F2 → F que, conjuntamente, satisfacen los siguientes axiomas:
1. (Conmutatividad de la suma.) Para todo a, b ∈ F es el caso que:
a+b=b+a
2. (Asociatividad de la suma.) Para todo a, b, c ∈ F es el caso que:
a +(b + c) = (a + b) + c
3. (Identidad aditiva.) Existe alg´
un OF ∈ F tal que para todo a ∈ F es el caso que:
a + OF = a
4. (Inverso aditivo.) Para todo a ∈ F existe alg´
un (−a) ∈ F tal que:
a + (−a) = OF
5. (Conmutatividad de la multiplicaci´
on.) Para todo a, b ∈ F es el caso que:
a·b=b·a
6. (Asociatividad de la multiplicaci´
on.) Para todo a, b, c ∈ F es el caso que:
a · (b · c) = (a · b) · c
7.(Identidad multiplicativa.) Existe alg´
un IF ∈ F tal que para todo a ∈ F es el caso que:
a · IF = a
8. (Inverso multiplicativo.) Para todo a ∈ F diferente de OF existe alg´
un a−1 ∈ F tal que:
a · a−1 = IF
9. (Distributividad de las operaciones.) Para todo a, b, c ∈ F es el caso que:
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

Nota 1.2. Un campo trivial es aquel constituido por un solo elemento. Es muyf´acil verificar
que cualquier conjunto unitario equipado con operaciones de suma y multiplicaci´on es un campo,
dado que solo existe un elemento del campo que puede ser retornado por estas operaciones.
Nota 1.3. Algunos detalles respecto a los axiomas de la Definici´on 1.1:
❼ El axioma 3 no requiere que la identidad aditiva sea u
´nica.
❼ El axioma 4 no requiere que los inversos aditivos sean u´nicos.
❼ El axioma 7 no requiere que la identidad multiplicativa sea u
´nica.
❼ El axioma 8 no requiere que los inversos multiplicativos sean u
´nicos.

Estos hechos motivan los siguientes cuatro teoremas.

P´agina 1 de 59

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Lineal (ICM-00604): Juego de Notas

Teorema 1.4. La identidad aditiva de un campo F es u
´nica.
Demostraci´
on: Supongamos que existen dos identidades aditivasdiferentes, denotadas OF , OF ∈ F.
Entonces, para todo a ∈ F es tanto el caso que:
a = a + OF
a = a + OF
Esto implica que:
a + OF = a + OF
Por lo tanto, sumando el inverso aditivo de a al lado izquierdo y derecho de la igualdad anterior,
concluimos que OF = OF .
Teorema 1.5. El inverso aditivo de cada elemento de un campo F es u
´nico.
Demostraci´
on: Consideremos cualquier a ∈ F y supongamos que a tienedos inversos aditivos
diferentes (−a)1 , (−a)2 ∈ F. Entonces:
(−a)1 = (−a)1 + OF = (−a)1 + [a + (−a)2 ] = [(−a)1 + a] + (−a)2 = OF + (−a)2 = (−a)2

Ejercicio 1.6. Utilizando argumentos an´
alogos a los de la demostraci´on del Teorema 1.4, demu´estrese
que la identidad multiplicativa de un campo F es u
´nica.
Ejercicio 1.7. Utilizando argumentos an´
alogos a los de la demostraci´on del Teorema 1.5,demu´estrese
que el inverso multiplicativo de cada elemento de un campo F, diferente de la identidad aditiva,
es u
´nico.
Nota 1.8. Tampoco hemos requerido que la identidad aditiva de un campo F sea diferente de la
identidad multiplicativa. A pesar de esto, se puede demostrar que si estas identidades son el mismo
elemento de F entonces F es un campo trivial, i.e., el conjunto F es un conjuntounitario.
Ejemplo 1.9. El conjunto de todos los n´
umeros reales, denotado R, equipado con las operaciones de
suma y multiplicaci´
on habituales para n´
umeros reales, es un campo.
Ejercicio 1.10. Def´ınase a Z como el conjunto de todos los n´
umero enteros, i.e.,
Z = { . . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } .
Ser´
a el caso que cuando Z es equipado con las operaciones habituales de suma y multiplicaci´onentonces
este conjunto es de hecho un campo?
Ejercicio 1.11. Demu´estrese que el conjunto de todos los n´
umeros racionales, denotado Q, equipado
con las operaciones de suma y multiplicaci´on habituales, es un campo.
Ejercicio 1.12. Demu´estrese que el conjunto de todos los n´
umeros complejos, denotado C, equipado
con las operaciones de suma y multiplicaci´on para n´
umeros complejos, es un...