teoremas de numeros reales

ALGUNOS TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES
A partir de los axiomas de R, los axiomas de orden y de las definiciones mostraremos algunas de las propiedades de los reales demostrándolas como teoremas que nos servirán para entender la naturaleza y comportamiento de este conjunto de números.
TEOREMA 1
En los números reales se cumplen las leyes cancelativas y uniforme con la suma, es decir:
i) Six+y=x+z entonces y=z.
ii) Si y=z entonces x+y=x+z.

Demostración/:
i)
y=0+y
y=((-x)+x)+y
y=(-x)+(x+y)
y=(-x)+(x+z)
y=(-x)+(x+z)
y=((-x)+x)+z
y==0+z
y==z
la anterior demostración se justifica usando el axioma 4, el axioma 5, ley asociativa, la hipótesis, ley asociativa, el axioma 5 y el axioma 4 respectivamente.
ii)Por ley reflexiva x+z=x+z pero como z=y entonces por ley transitivax+z= x+y.

TEOREMA2
Los neutros e inversos aditivos y multiplicativos son únicos.
Demostración/:
Supongamos que existen 01 y 02 dos neutros aditivos, entonces 01 + 02 = 01 y 02 +01 = 02 luego por ley transitiva y conmutativa 01= 01 + 02=02 +01 = 02.luego estos neutros aditivos son el mismo. (Análogamente se demuestra para el neutro multiplicativo).

Ahora supongamos que para x hay dosinversos aditivos x1 y x2 tal que x+ x1 = 0 y x+ x2 = 0 por ley transitiva tenemos que x+ x1 = x+ x2 luego por ley cancelativa x1 = x2. Luego los inversos aditivos para x real son el mismo. (Análogamente se demuestra para el inverso multiplicativo teniendo en cuenta que x≠0).



TEOREMA3
En los números reales distintos de cero se cumplen las leyes cancelativas y uniforme con la multiplicación,es decir:

i)Six•y=x•zentoncesy=z.
ii) Si y=z entonces x•y=x•z.
Demostración/:
La demostacion es analoga a la del Teorema1.

TEOREMA 4
-0=0.
Demostración/:
Tenemos que 0+(-0) = 0 y 0+0 = 0 luego por ley transitiva 0+(-0) = 0+0, finalmente por ley cancelativa 0 = -0.

TEOREMA5
Para x real se cumple: -(-x)= x.
Demostración/:
–(-x) = 0+(–(-x))=(x+(-x))+ (–(-x))= x+((-x)+ (–(-x)))=x+0=x.Podemos ver que usamos los axiomas 4 y 5 y el hecho de que (–(-x)) es el inverso aditivo de (-x).
LEMA
Para toda x real se cumple: x•0=0•x=0.
Demostración/:
x•0=x• (0+0) = x•0+x•0, luego x•0 = x•0+x•0 y por ley cancelativa 0 = x•0 ò x•0=0, de la misma forma demostramos que 0•x=0, por lo que concluimos que x•0=0•x=0.

TEOREMA6
Para x, y reales se cumple: (-x) •y= x•(-y) = -(x•y).Demostración/:
Por lema 0=0•y=(x+(-x)) 0•y = x•y+(-x) •y, entonces 0= x•y+(-x)•y y por ley uniforme se puede sumar -(x•y) y tenemos que -(x•y) = (-(x•y))+x•y+(-x)•y luego (x•y))+x•y=0 por lo que se tiene que: -(x•y) = 0+(-x)•y =+(-x)•y. Analogamente se demuestra que x•(-y)= -(x•y).

TEOREMA7
Para x≠0 real se cumple: 1/(1/x)= x.
Demostración/:
Esta demostracion es parecida al adel teorema 5.TEOREMA8
Para x, y reales distintos de cero se cumple: 1/(x•y)= (1/x)•(1/y).
Demostración/:
1/(x•y)=1•1•1/(x•y)
1/(x•y)=(x•(1/x))•(y•(1/y))•1/(x•y)
1/(x•y)=(x•y)•((1/x)•(1/y))•1/(x•y)
1/(x•y)=((1/x)•(1/y))•((x•y)•1/(x•y))
1/(x•y)=(1/x)•(1/y).
Aquí hemos usando en repetidas ocasiones propiedades como la ley conmutativa y asociativa para el producto y la existencia de los neutros einversos multiplicativos.


TEOREMA9
Para x, y reales distintos de cero se cumple: 1/(x/y)= y/x.
Demostración/:
Aquí vemos como los Teoremas 7 y 8 son usados junto con las propiedades conmutativa y asociatativa del producto para demostrar lo requerido.
1/(x/y)= 1/(x •(1/y))=(1/x)•(1/(1/y))=(1/x) •y = y/x.

TEOREMA10
Para x, z reales y w, y reales distintos de cero se cumple: x/y + z/w =(x•w+ z•y)/ y•w.
Demostración/:
(x/y)+(z/w)=(x/y+z/w)•1
(x/y)+(z/w)=(x/y+z/w)•((y•w)(1/y•w))
(x/y)+(z/w)=((x/y+z/w)(y•w))(1/y•w)
(x/y)+(z/w)=(x/y•(y•w)+z/w•(y•w))(1/y•w)
(x/y)+(z/w)=(x•w+y•z)(1/y•w)
(x/y)+(z/w)=(x•w+y•z)/(y•w)
Note que en esta demostración usamos los axiomas 2, 3, 6 y 7.

TEOREMA11
Para x, z reales y w, y reales distintos de cero se cumple: (x/y)• (z/w)= (x•z)/ (y•w)....