Teoria de la renovacion

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA
UNEFA
NÚCLEO GUANARE




















Guanare, julio de 2010
PROCESOS DE RENOVACIÓN

Se inicia una operación en cierto componente o artículo cuya duración de vida útil se modelamediante una variable aleatoria T1. Una vez que el componente falla, se reemplaza o renueva con otro componente cuyo tiempo de vida es T2, y así sucesivamente.

La colección de variables aleatorias T1, T2, representa la sucesión de tiempos de vida de componentes puestos en operación uno tras otro.

Teoría de la renovación

Un proceso de renovación es una sucesión infinita de variablesaleatorias T1, T2, que son no negativas, independientes e idénticamente distribuidas.

Dado un proceso de renovación {T1, T2,. . .}, se definen los tiempos reales de renovación como W0 = 0 y Wn = T1+· · ·+Tn, para n ≥ 1. El proceso de conteo de renovaciones es Nt = máx {n ≥ 0: Wn ≤ t}, para cada t ≥ 0.

La variable aleatoria Wn representa el tiempo real en el que se realiza la n-ésima renovación,mientras que Nt indica el número de renovaciones realizadas hasta el tiempo t. En la literatura se le denomina proceso de renovación a cualquiera de los procesos {Tn: n = 1, 2, . . .}, {Wn : n = 0, 1, ..}, o {Nt: t ≥ 0}, pues por construcción existe una correspondencia biunívoca entre cualesquiera dos de estos tres procesos.
Ejemplo # 01

Suponer que tenemos una cantidad infinita de bombillascon tiempo de vida independiente e idénticamente distribuido.

Se utilizará una sola bombilla a la vez y cuando esta falle se sustituirá por una nueva.

Bajo estas condiciones {N(t), t ≥ 0}, es un proceso de renovación donde N(T) representa el número de bombillas que han fallado para el tiempo t.

Ejemplo # 02

Suponer que tenemos una cantidad de 3 bombillas con tiempo de vida independientee idénticamente distribuido. Se utilizará una sola bombilla a la vez y cuando esta falle se sustituirá por una nueva.

Bombillas | Duración (t) |
#1 | 5 horas |
#2 | 2 horas |
#3 | 7 horas |

Cada vez que ocurre el evento decimos que ha ocurrido “renovación”. Si tenemos el tiempo entre cada renovación, podemos calcular el tiempo total Sn. Donde S1=X1 (el tiempo antes de que ocurra elprimer evento o renovación), S2= X1 + X2 (el tiempo antes de que ocurra la primera renovación más el tiempo desde la primera y la segunda renovación).
Si n ≥ 1, Sn está dado por:
Sn cumple con la condición: 0 < E[Sn] < ; ∞.

Tiempos de llegada

El tiempo promedio (µ) entre eventos sucesivos es igual al valor esperado de los tiempos entre llegadas totales.
Si n ≥ 1:
Tanto elpromedio como el tiempo entre llegadas son valores positivos.

Tiempo promedio

Cuando la probabilidad es 1, N(t) tiende a infinito cuando t tiende a infinito. Por lo tanto, si la probabilidad es 1: A medida que t -> ∞, es la tasa de renovación

Función de la renovación

La función de la renovación de la recompensa satisface: Donde FS es la función de la distribución acumulada de S1 y FSrepresenta la función de densidad.

Si µ tiende a infinito, la tasa de renovación promedio esperada, también converge hacia, t -> ∞.
Otra de las funciones que es natural desear conocer en un proceso de renovaciones el número promedio de renovaciones efectuadas hasta un tiempo t cualquiera. A tal función se le llama función de renovación, y se le denota por Δ(t), es decir, Δ(t) = E(Nt). Engeneral no es fácil encontrar una forma explicita para esta función. Sin embargo, se cuenta con la siguiente ecuación integral general.

Proposición. La función de renovación Δ(t) satisface la ecuación

Ejemplo. Para el proceso de Poisson, el promedio de renovaciones o saltos al tiempo t es Δ(t) = Δt. Puede comprobarse directamente que esta función satisface con F(t) = 1 – e -Λt.
A una...