Teoria de los numeros elementales

Teoría de números elemental: Aritmética modular

Aritmética modular

Con las congruencias podemos establecer un conjunto de operaciones aritméticas, como:
Siendo a, b, c, d Є Z y m Є N, tales que a ≡ b (mod (m)) y c ≡ d (mod (m)). Entonces,
a + c ≡ b + d (mod (m))
a · c ≡ b · c (mod (m))
(Recordemos que el signo ≡ significa “congruente con” y no es lo mismo que el signo = que significa“igual a”)
A partir de esto, podemos definir las propiedades aritméticas para las sumas de congruencias:
• Propiedad asociativa: a + (b + c) (mod (m)) = (a + b) + c (mod (m))
• Elemento neutro: Existe un elemento 0 Є Zm, tal que a + 0 (mod (m)) = a (mod (m))
• Elemento opuesto: Existe un elemento b Є Zm, tal que a + b = 0 (recordemos que 0 es el elemento neutro de la suma)
•Propiedad conmutativa: a + b (mod (m)) = b + a (mod (m))
También podemos definir las propiedades aritméticas para el producto de congruencias:
• Propiedad cancelativa: a · c ≡ b · c (mod (m)) y MCD (m, c) = 1, entonces a ≡ b (mod (m))
• Propiedad asociativa: a · (b · c) (mod (m)) = (a · b) · c (mod (m))
• Elemento neutro: Existe un elemento 1 Є Zm, tal que a · 1 (mod (m)) = a (mod (m))• Elemento inverso: Existe un elemento a-1 Є Zm para todo a Є Zm con MCD (a, m) = 1, tal que a · a-1 = 1 (recordemos que 1 es el elemento neutro del producto)
Además de todas estas propiedades también se cumple la propiedad distributiva: a · (b + c) (mod (m)) = (a · b) + (a · c) (mod (m))

Relación de equivalencia

De Wikipedia, la enciclopedia libre

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SeaK un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida sobre K. Se dice que R es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
• Reflexividad: Todo elemento de K está relacionado consigo mismo. Es decir,
[pic].
• Simetría: Si un elemento de K está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,[pic]
• Transitividad: Si un elemento de K está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,
[pic]
Una relación de equivalencia R sobre un conjunto K puede denotarse con el par ordenado [pic].

|Contenido |
|[ocultar]|
|1 Clases de equivalencia |
|2 Conjunto cociente |
|3 Lema de abstracción |
|4 Ejemplos |
|5 Véase también|
|5.1 Esquema de temas relacionados |

[pic]Clases de equivalencia [editar]

La relación de equivalencia [pic]define subconjuntos disjuntos en K llamados clases de equivalencia de la siguiente manera: Dado un elemento [pic], al conjunto dado por todos los elementos relacionados con a
[pic]
se le llama la clasede equivalencia asociada al elemento a. Al elemento a se le llama representante de la clase.
Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito.
El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerserelaciones de equivalencia en base a algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.

Conjunto cociente [editar]

El conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se lo suele denotar como:
[pic]
Tal como muestra la definición anterior el conjunto cociente es un subconjunto del conjunto de...