teoria de numeros

Notas de entrenamiento
Teor´ de n´meros
ıa
u

Hola por cuarta vez. ¿Saben? Esto de empezar a escribir y encontrarte una hoja en blanco
tiene su chiste. Al principio no tienes idea de que va a quedar. Bueno, pasemos ya a las cosas
importantes. La clase pasada fue de primos, primos y m´s primos. Primos es uno de mis temas
a
favoritos y espero que algunos de ustedes tambi´n le agarren elgusto.
e
Antes de entrar de lleno con esto me parece que es fundamental recordar siempre que probar
pocos casos para verificar una afirmaci´n no es una demostraci´n. No importa qu´ tantos casos
o
o
e
chequemos, hay que hacer lo que el problema diga, es decir, si el problema pide que demuestres que
algo pasa siempre, hay que ver que esto pasa siempre, no solo dar ejemplos de que s´ pase.
ı¿Por qu´ dar muchos ejemplos no es suficiente? Bueno, supongamos que dar una cantidad
e
suficientemente grande (digamos 10000) de ejemplos sirve para demostrar cualquier afirmaci´n.
o
Entonces consideremos la siguiente afirmaci´n: ”Todos los n´meros son m´s chicos que 10001”. Si
o
u
a
comenzamos a checar casos, pues esto pasa para 10000 n´meros, sin embargo la afirmaci´n no es
u
o
cierta, yaque, por ejemplo, el 10002 no la cumple.
En un ejemplo un poco m´s serio, consideremos el polinomio n2 − n + 41. La pregunta es ¿si
a
lo evaluamos en naturales, siempre toma valores primos?. Sus primeros cinco valores cuando lo
evaluamos en naturales son 41, 43, 47, 53 y 61, todos ellos primos. De hecho, al evaluarlo en sus
primeros 40 valores siempre se obtienen n´meros primos. Sin embargo, alevaluarlo en 41 obtenemos
u
412 , el cual no es un n´mero primo. Conclusi´n: abundante evidencia rara vez es suficiente para
u
o
garantizar una afirmaci´n.
o
Ok, esos fueron bastantes p´rrafos de escritura de corrido. Pasemos al primer:
a
Problema: Encuentra el mayor primo de dos d´
ıgitos que divide a

200
100

Soluci´n: Tenemos que:
o
a=

200
100

=

200!
100!100!

Paraque un primo divida a a, es necesario que aparezca en la factorizaci´n del numerador
o
de ´sta expresi´n m´s veces que en la del denominador (si no ”se cancelar´
e
o
a
ıa”). Un primo p de
dos d´
ıgitos mayor que 66 tiene exactamente dos m´ltiplos en los n´meros del 1 al 200, y estos se
u
u
´
cancelan con los dos p del denominador. El primer primo menor que 66 es 61. Este es el primoque
buscamos ya que en el numerador lo tenemos tres veces (en 61, en 122 y en 183) y abajo solo dos.
As´ 66 es el mayor primo de dos d´
ı,
ıgitos que divide a 200 .
100
Despu´s de este problema de calentamiento ya comenzamos a ver cosas de a de veras (enti´ndase
e
e
un poco m´s generales) acerca de los primos. La primer preocupaci´n es ¿cu´ntos n´meros primos
a
o
a
u

1

hay?Teorema: Hay una infinidad de n´meros primos
u
Demostraci´n: Supongamos, por el contrario, que solo hay una cantidad finita de primos y que
o
son p1 < p2 < ... < pk . Consideremos el n´mero q = p1 p2 ...pk + 1. Ning´n primo lo divide, ya
u
u
que deja residuo 1 siempre que lo intentamos dividir entre alguno. Pero entonces q contradice al
Teorema Fundamental de la Aritm´tica, ya que ´ste nos diceque algun primo lo debe de dividir.
e
e
Entonces no pod´
ıamos construir a q , es decir, hay una infinidad de primos.
As´ mismo, usando que un primo de la forma 4k + 3 siempre tiene un factor primo de la forma
ı
4k + 3 podemos demostrar la siguiente:
Afirmaci´n: Hay una infinidad de primos de la forma 4k + 3.
o
Demostraci´n: Ejercicio 1 .
o
En contraste a esta afirmaci´n, tambi´n podemospreguntarnos qu´ sucede con los primos de
o
e
e
la forma 4k + 2. A continuaci´n obtendremos una afirmaci´n m´s general, con la demostraci´n de
o
o
a
o
este caso en particular en par´ntesis:
e
Afirmaci´n: Si m y n son enteros positivos que no son primos relativos entonces no hay una
o
infinidad de primos en los n´meros de la forma mk + n.
u
Demostraci´n: Supongamos que m y n no son...