TEORIAFORMASCUADRATICAS

D e p a r t a m e n t o d e E c o n o m í a A p l i c a da ( M a t e m á t i c a s )
G r a d o e n A d m i n i s t r a c i ó n y D i r e c c ió n d e E m p r e s a s
M A T E M Á T I C A S P A R A L A E C O N O M ÍA Y L A E M P R E S A

AMP
PLIACIÓN
N DE ALGE
EBRA MAT
TRICIAL
LECCIÓN
N3
ores prop
pios.
Definición:
Dada una
u matriz cuadrada
a A diremos que λ es
s un autovvalor o valo
or propio
Asi λ es so
olución de la ecuació n:
|
λλ
λ I| 0
λ se le denomina
a polinomiio caracte
erístico y sus
s
raícess dan lugar a los
ovalores de
e la matriz.
Ejemplo
os

 3 3 0


1. Dada
a la matriz A   3 3 0  calcule sus auto
ovalores.
 0 0 2


A la ecu
uación A -  I = 0, se la denomina ecu
uación caraacterística y no es
que

.
Aplicánd
dolo a nue
estra matrizz:

3
3
 3 3 0
1 00




3
 3 3 0   0 1 0  3
0 0 2
0 0 1
0
0





0
0

 3  82  12  0

2

valores propios son
n 1 = 2, 2 = 6, y 3 = 0,y el polinom
mio característico
oriza enton
nces como:
-3 – 8
2 - 12 = (
 - 6)( - 2)
2

1

Mª Lourrdes Rey Borreg
go

1 0 0 


2. Dada
a la matriz A   0 1  3  calc
cule sus au
utovalores.
 0 0  2



1 
0
1 0 0 
1 0 0




01  3   0 1 0   0 1 
0 0 1
0 0  2
0
0





0
 3   3  3  2  0
2

Los valores propios
p
son
n 1 = -2,, 2 = 1, y 3 = 1, el polinoomio carac
cterístico
facto
oriza enton
nces como:
-3 + 3
 - 2 = - (
 + 2)( - 1))2

2
2 0


3. Dada
a la matriz A   0  1 0  calcule sus autovaloress.
 2 0 1



2
1 0 0 
2 0 2 




 0 1 0     0 1 0   0
0 01
 2 0  1
2





0

2

1 
0
  3  7  6  0
0
1 

n 1 = 3, 2 = -2, y 3 = -1, el polinoomio carac
cterístico
los vvalores prropios son
facto
oriza como
o:
-3 + 7 + 6 = -( + 1)( + 2)(
 - 3)

 1  1 8


4. Dada
a la matriz A   1 1 1  calcu
ule sus auttovalores.
 2 0 3



1  1
8
1 0 0
 1  1 8




1 
1  3  52  8  12  0
 1 1 1   0 1 0 1
 2 0 3


2
0
3

0 0 1

los vvalores prropios son
n 1 = 6,
facto
oriza:

2 = -2, y 3 = 1, el polinoomio carac
cterístico

-3 + 52 + 8
8 - 12 = (
 - 6)( + 2)( - 1)

2

Mª Lourrdes Rey Borreg
go

Form
mas Cuadráticas.
Una forrma cuadrá
ática es un
na transforrmación de
e vectoress en escala
ares que
resp
ponde a la siguiente formulación
f
n:
n

t  n
2
 ( x)  x A x   aiixi   aij xi x j
i 1

i , j 1

la m
matriz A que la define es sie
empre cuadrada y simétrica
s
( aunque no
o lo sea
siem
mpre existe
e una simétrica asoci ada a ella)), una form
ma cuadrátiica se corrresponde
con una expresión de suma de cua
adrados y productos
p
cruzados.
¿Qué pa
asa si la matriz
m
que n
nos dan no
o es simétrrica?
En este
e caso siempre hay que simetrizar ¿Cómo?, si B es unamatriz
m
no
simé
étrica enton
nces consiideraremoss como ma
atriz asocia
ada a la fo rma cuadrrática:
A = ½ (B + Bt )
Con essta transformación
conssideraremo
os.

la matrriz A es simétrica
ca y es la que

Vamos a ver ahorra como po
odemos pa
asar de la forma
f
anal ítica a la matricial.
m
Sea  (xx, y, z) = x2 – 4y2 + 3
3z2 – 2xy + 6xz =

 1  1 3  x 

 
= ( x y z )  1  4 0  y 
3
03  z 

los e
elementos de la diagonal princ ipal son los coeficien
ntes cuadrá
ráticos y el resto de
elem
mentos se
e dividen entre do
os y se ponen de
e forma simétrica en sus
corre
espondientes lugares
s.
s decir noss dan la matriz
m
y ten
nemos quee construir la forma
Si es all revés, es
analítica, se prrocede de la misma fforma.

3

Mª Lourrdes Rey Borreg
go

Ejempllo

 1 3  2

1. Sea B   7 0 2  , callcular la forma analítiica asociadda.
8 4 7 


ero que tenemos que
e darnos cuenta
c
es que
q la mattriz no es simétrica,
s
Lo prime
luego hay que simetrizarrla.
 1 3  2


B  7 0 2 
8 4 7 



 1 3  2   1 7 8   1 5 3 

 
 
1 
A   7 0 2    3 0 4    5 0 3 
2 
 8 4 7    2 2 7   3 3 7 

(x, y, zz)= x2 + 7z2 +...