TeoriaProblemasIntegracion








Integración




1. Función primitiva

2. Integral indefinida

3. Propiedades de la integral indefinida

4. Integrales inmediatas

5. Diferencial de una función

6. Métodos de integración

7. El problema del cálculo del área

8. Integral definida

9. Relación entre el área y la función primitiva

10. Regla de Barrow

11. Función integral definida

12. Propiedades de laintegral definida

13. Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas

EJERCICIOS Y PROBLEMAS



1. Función primitiva


DEFINICIÓN:
Una función F(x) es una primitiva de f(x) cuando F(x) tiene por derivada la función
f(x):

F(x) es primitiva de f(x) g F'(x) =f(x)

 EJEMPLOS:

a) La función Fx  x 3 es una primitiva de f (x) = 3x2


b) La función Fx  x es unaprimitiva de f (x) = 1


El cálculo de primitivas se basa en el siguiente teorema fundamental del cálculo integral.

TEOREMA:
Si F(x) y G(x) son dos primitivas de la función f(x), entonces F(x)-G(x)=C, siendo C una
constante.


Demostración:
Definamos la función H(x) =F(x)-G(x) y hallemos su derivada:H'(x) =F'(x)-G'(x)


Por hipótesis, se verifica: F'(x) =G'(x) =f(x)


Luego: H'(x) =f(x) -f(x)= 0


Por tanto: H(x) =F(x)-G(x) =C



Como consecuencia de este teorema se deduce que para calcular todas las primitivas de una función f(x) es suficiente con calcular una de ellas F(x), ya que cualquier otra primitiva def(x) será de la forma F(x) + C, siendo C una constante.



 EJEMPLO: Calcular las primitivas de la función f(x)=2x.
La función F(x) = x2
es unaprimitiva de f(x)=2x, pues F'(x) = 2x =f(x).

Las infinitas primitivas de f(x)=2x son de la forma G(x) = x2 + C, siendo C una constante.

El cálculo de primitivas es, pues, el proceso inverso al de derivación, con la diferencia de que si una función f(x) tiene derivada ésta es única, mientras que si una función f(x) tiene una primitiva, tiene infinitas primitivas.


Fx  C
Infinitosresultados
Ca´lculo de primitivas

f(x)
Derivacio´n

f∏ x
Re sultado u´nico



2. Integral indefinida


DEFINICIÓN:
Se llama integral indefinida de la función f(x) al conjunto de todas sus primitivas. Se simboliza por:

¶ fxdx  Fx  C

siendo F(x) una primitiva cualquiera de f(x) y C una constante. La expresión f (x) dx se lee "integral de f(x) diferencial de x". Lafunciónf(x) se llama integrando o función subintegral.
La diferencial de x, dx, indica que x es la variable de integración.


F(x)+C es la solución general y C la constante de integración. Para cada valor de C se obtiene una primitiva def(x) o solución particular de la integral indefinida.
 EJEMPLOS:

a) ¶ 3dx  3x  C



b) ¶ ex dx  ex  C



3. Propiedades de la integralindefinida


Las propiedades siguientes son consecuencia directa de la definición de integral indefinida.



1. La derivada de la integral de una función es la propia función:

¶ fxdx ∏  fx

2. La integral de una suma de varias funciones es igual a la suma de las integrales de cada una de lasfunciones:

¶[fx  gx ]dx  ¶ fxdx  ¶ gxdx

 EJEMPLO: ¶(ex  x)dx  ¶ ex dx ¶ xdx  ex  1 x2  C




3. La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de lafuncíón:

¶ k $ fxdx  k $ ¶ fxdx

 EJEMPLO: ¶ 5ex dx  5 $ ¶ ex dx  5ex  C


4. Integrales inmediatas


Las integrales inmediatas son las que se obtienen directamente teniendo en cuenta las reglas de derivación.

La tablasiguiente muestra una lista de las integrales inmediatas más usuales.


INTEGRALES INMEDIATAS









n1
n1


x fx





ln a
ln a


x fx




La justificación de esta tabla es inmediata: basta con derivar las funciones...